二題指考問題

[(short)(-15074)]

2. 已知平面上一橢圓的兩焦點 (6,0) 及 (0,8), 長軸長為 20, 試問
橢圓是否與正 x 軸只有一個交點？
請問這個問題除了硬代橢圓上的點 P(x,0) (x > 0) 滿足到兩焦點距離和為
20 去解之外，有其他簡單的判斷法嗎？

簡單計算可得知:

橢圓中心在(3,4)

長軸所在直線為 x/6+y/8=1 => 4x+3y=24

故短軸所在直線為 3x-4y=-7

又半長軸 a = 10, 半焦距 c = 5 ((6,0)和(0,8)距離10=2c)

故半短軸 b = 5√3

在直線 3x-4y=-7 上取一點 (4t+3,3t+4) 和 (3,4) 距離 5√3

即 5|t| = 5√3 => t = ±√3 即 (3±4√3,4±3√3) 為短軸的兩端

類似的計算可得長軸兩端在 (9,-4) 及 (-3,12)

將長軸和短軸畫出來即可知道橢圓的大略形狀

由此即知該橢圓的確只和正 x 軸交於一點


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[(short)(-15074)]

拋物線上二切線互相垂直時的交點必在準線上 (請問這是為什麼？)
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不妨取座標軸使得準線為水平, 頂點在(0,0), 開口向上

於是準線為 y=-c, 拋物線為 y=x^2/4c

則在(x0,y0)點之切線斜率為 x0/2c 直線為 y=x0(2x-x0)/4c

令兩切點為 (x1,y1), (x2,y2)

則兩切線為 y=x1(2x-x1)/4c y=x2(2x-x2)/4c

兩線交點(x,y)滿足 x1(2x-x1)/4c=x2(2x-x2)/4c => x1(2x-x1)=x2(2x-x2)

=> x = (x1+x2)/2 代回其中一式得 y=x1((x1+x2-x1)/4c)=x1x2/4c

又因兩線垂直 (x1/2c)(x2/2c)=-1 => x1x2=-4c^2

故交點 y 座標 = -4c^2/4c = -c 即交點在準線上 #

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以上證明和原題完全無關

單純只是要證明那件事是對的而已

(也就是原題的座標軸和這裡的座標軸是兩回事)

不過我有點好奇的是該不會這份答案就這樣推得這個拋物線是 x^2=4y 了吧?!

除非加上拋物線是"擺正的"的條件 (或者這拋物線是為 y = f(x) 之圖形)

不然只靠都在上半平面這件事並不能保證這拋物線就是 x^2=4y...
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"Shan't say nothing if you don't say please," said Peeves in his annoying
sing-song voice. "All right -- please."
"NOTHING! Ha haaa! Told you I wouldn't say nothing if you didn't say please!
Ha ha! Haaaaaa!" And they heard the sound of Peeves whooshing away and
Filch cursing in rage.
---'Harry Potter and the Philisopher's Stone', P119

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[(short)(-15074)]

�O���A���ٶb�����O y �b.���_���O�A���׳��M�O�b���w
�u�Y�ߪ��u���G��u�����A�h���I���b�ǽu�W�v�o�өʽ�
���߱�o���A�����`ı�o�o�өʽ襼�K�Ӥ������F,���H��
���[���ݪk�ܡH ���D�p�U�G ���׬� (B),(D)
�ûP x �b, ���u y = x - 1, ���u y = -x - 1 �ۤ�. �U�C�ԭz���̥��T�H
(A) ���ߪ��u�����ٶb���� y �b (B) �Y���ߪ��u���ٶb�� y �b, �h��
�J�Z�� 1 (���G �ߪ��u���J�Z���J�I�쳻�I���Z��) (C) ���ߪ��u�����I

�� �o�˪���

�A�����D��ӬO(B)�ﶵ�a

���� �Y���ٶb��y�b���� �ߪ��u�K�i�]�� y = ax^2+b (�Y���I�b(0,b))

����ߪ��u�b (x0,y0) ����u�ײv�� 2ax0

���ݤ�u y = x-1 ���I�e���D�o�O�b (1/2a,(1/4a)+b) �G�� (1/4a)+b=(1/2a)-1

�P�z�ݤ�u y = -x-1 ���I�b (-1/2a,(1/4a)+b) �ҥH�]�o�� (1/4a)+b=(1/2a)-1

�̫��ݤ�u y = 0 �ѩ����ٶb�� y �b ���ܳo�ϧάO����

�ҥH�o����u���n��b���I�W �]�N�O b = 0

(�Ϊ̳o���Ƥ]�i�H�b�W������ �����]�ߪ��u�� y = ax^2 �Y�i

�o�X�Ӫ����l�]�t���h)

�Ѧ��Y�i�ѱo a = 1/4 �]�N�O�ߪ��u�Y�� y = (x^2)/4 => x^2 = 4y �J�Z���O 1

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�Ե^�G�u�e���I�A�u���N�o�˳Q���輤�����l�޹L�h�F��?!�v
���G�u�u�n���ۤk���\�X�ˤ���ˤl�A�Ҧ����n���O�N�����K�A���G�@�I�����a�ڡC�v
�Ե^�G�u���D�A�S���k�H���L�Y�F��?!�v
���G(�_�M�D)�u�S���C�b�`���Y���B�ͬ��Y�����ǥ����e�A�S�����تF���C�v
�С�������Ƿǵȸ������Ƿǵ �ĤG��

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