[高中]機率"抽籤原則"

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[高中]機率"抽籤原則"

(时间太久无法回复)

品客很好吃

2008-05-17 19:34:01 UTC

我的想法是這樣

a.前面兩人連續中獎機率(1/9)*(1/9)
b.前面兩人一中獎.一不中獎機率2*(1/9)*(8/9) (乘上2是因為前後關係)
c.前面兩人連續不中獎機率(8/9)*(8/9)

第三人中獎機率:

前兩人中獎可能性第三人抽前兩人抽剩下的籤
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
前面兩人連續中獎機率 a * 抽掉中獎的籤的機率剩(3/43)
+
前面兩人一人中一人沒中機率 b * 抽掉中獎與不中獎籤的機率剩(4/43)
+
前面兩人連續不中獎機率 c * 抽掉連續不中獎的機率剩(5/43)

就是答案那樣了

不知道觀念對不對

參考就好

現有5支獎籤，40支無獎籤，全放進一籤桶中；
每人依序抽一籤，抽出後不放回，
問：第三人抽中有獎籤的機率為何？
想法：P(第三人中獎)=P(中,中,中)+P(中,無,中)+P(無,中,中)+P(無,無,中)
=(5/45)*(4/44)*(3/43)+(5/45)*(40/44)*(4/43)+
(40/45)*(5/44)*(4/43)+(40/45)*(39/44)*(5/43)=1/9
或是想成：中獎機率 = 5/45 =1/9 → 不中獎機率 = 1-(1/9) = 8/9
可得 P(第三人中獎)=(1/9)*(1/9)*(1/9)+(1/9)*(8/9)*(1/9)+
(8/9)*(1/9)*(1/9)+(8/9)*(8/9)*(1/9)=1/9
問題來了，上面兩種想法我都了解，但書上卻寫著：
P(第三人中獎)=(1/9)*(1/9)*(3/43)+(1/9)*(8/9)*(4/43)+
(8/9)*(1/9)*(4/43)+(8/9)*(8/9)*(5/43)
化簡後答案竟然也是1/9耶！
為什麼書上的寫法(算式中混用兩種方法計算機率)也可以呢？
希望知道的高手們能夠幫忙指點迷津，感激不盡～
p.s. 上面1997那篇有人會解嗎？完全石沉大海... >.<

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[m[1;30m┌╗┬─ [37mOrigin[31m：[33m《Ψ義守觀山風情Ψ》[4;32m<bbs.isu.edu.tw>[;1;30m ─┬╖[37;44m╔[m╗[m
[1;30m╚[37;41m┘[30;40m╙─ [37mFrom [31m： [36m218.175.172.194[30m ──────────╛[m└[1;37;42m╝[m╝[m

老怪物

2008-05-18 04:10:13 UTC

Permalink

現有5支獎籤，40支無獎籤，全放進一籤桶中；
每人依序抽一籤，抽出後不放回，

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

問：第三人抽中有獎籤的機率為何？
想法：P(第三人中獎)=P(中,中,中)+P(中,無,中)+P(無,中,中)+P(無,無,中)
=(5/45)*(4/44)*(3/43)+(5/45)*(40/44)*(4/43)+
(40/45)*(5/44)*(4/43)+(40/45)*(39/44)*(5/43)=1/9

正確.

或是想成：中獎機率 = 5/45 =1/9 → 不中獎機率 = 1-(1/9) = 8/9
可得 P(第三人中獎)=(1/9)*(1/9)*(1/9)+(1/9)*(8/9)*(1/9)+
(8/9)*(1/9)*(1/9)+(8/9)*(8/9)*(1/9)=1/9

如果 "抽出後放回" 才對!
雖然答案都是 1/9, 但想法/過程不對!

問題來了，上面兩種想法我都了解，但書上卻寫著：
P(第三人中獎)=(1/9)*(1/9)*(3/43)+(1/9)*(8/9)*(4/43)+
(8/9)*(1/9)*(4/43)+(8/9)*(8/9)*(5/43)

甚麼書? 根本是亂湊答案!

化簡後答案竟然也是1/9耶！
為什麼書上的寫法(算式中混用兩種方法計算機率)也可以呢？
希望知道的高手們能夠幫忙指點迷津，感激不盡～
p.s. 上面1997那篇有人會解嗎？完全石沉大海... >.<

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高斯教授

2008-05-18 13:12:08 UTC

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Post by èæªç©
如果 "抽出後放回" 才對!
雖然答案都是 1/9, 但想法/過程不對!

謝謝您的回答。 :)
可是若"抽出後放回"
不管第幾個人來抽，
中獎機率一定都固定是1/9啊，
這樣寫不就畫蛇添足了嗎？
還是...第二種寫法觀念也有錯？
再次感謝您的回答～

筆者認為該書的解法其實是一種多此一舉的方法.

我們常說[抽籤是公平的],指的是說不管抽出後放不放回,每個人中籤的
機率都是相等的.

想想看,假如抽出後不放回而導致不公平的話,那麼每年役男抽服役地點
的時候,抽到金馬獎的人豈不是要鬧革命了呢??(不過據傳言說現在金馬
獎挺涼的,但未經證實)

所以這就變成一個想法:

既然每個人中籤的機率都是1/9
所以前兩個人都中籤的機率是(1/9)(1/9),然後當第三個人抽的時候,籤筒
裡剩下43支籤,其中3支是有獎籤.

但也有可能前兩個人有沒抽中的,才會出現(8/9)跟(4/43)這樣的乘式.

不過,既然已經接受了每個人都是公平的,再花時間分項算其實多此一舉.

附帶一提,kentan板友的想法與筆者是相同的.

僅供參考

高斯教授 2008/05/18

--
[1;37m□ 本文章由 [33mSJOKER[37m 從 [32m118-166-181-29.dynamic.hinet.net[37m 發表[m
[1;37m□ 本文章由 [33mSJOKER[37m 在 [32m2008/05/18 Sun 21:14:20[37m 修改[m

老怪物

2008-05-18 13:45:01 UTC

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Post by èæªç©

現有5支獎籤，40支無獎籤，全放進一籤桶中；
每人依序抽一籤，抽出後不放回，

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

正確.

或是想成：中獎機率 = 5/45 =1/9 → 不中獎機率 = 1-(1/9) = 8/9
可得 P(第三人中獎)=(1/9)*(1/9)*(1/9)+(1/9)*(8/9)*(1/9)+
(8/9)*(1/9)*(1/9)+(8/9)*(8/9)*(1/9)=1/9

如果 "抽出後放回" 才對!
雖然答案都是 1/9, 但想法/過程不對!

問題來了，上面兩種想法我都了解，但書上卻寫著：
P(第三人中獎)=(1/9)*(1/9)*(3/43)+(1/9)*(8/9)*(4/43)+
(8/9)*(1/9)*(4/43)+(8/9)*(8/9)*(5/43)

甚麼書? 根本是亂湊答案!

令 X1, X2, X3 分別代表第 1, 2, 3 人抽出結果.
Xi = 1 表第 I 人中獎;
Xi = 0 是第 i 人沒中獎.

"不論第幾位抽,其(unconditional)中獎機率相同", 或所
謂 "公平", 是一個結論, 當然需要證明!

也有人只看到條件機率, 而認為先抽有利或後抽有利.

"抽出後放回" 或 "抽出後不放回", 影響到條件機率; 雖
然不影響無條件機率.

P[X3=1] = 5/45 = 1/9 是無條件機率;
P[X3=1|X1=u,X2=v] 是條件機率.

P[X1=u, X2=v, X3=1]
= P[X1=u]P[X2=v|X1=u]P[X3=1|X1=u,X2=v] (第1種算法)
≠ P[X1=u]P[X2=v]P[X3=1] (第2種算法)
也≠ P[X1=u]P[X2=v]P[X3=1|X1=u,X2=v] (第3種算法)

所列三種計算, 在題目明載 "抽出後不放回" 的設定下,
只有第一種算法是對的!

若 "抽出後放回",則前面抽出甚麼結果不會影響後抽的抽
中獎的(conditional)機率. 即
P[X1=u, X2=v, X3=1]
= P[X1=u]P[X2=v|X1=u]P[X3=1|X1=u,X2=v]
= P[X1=u]P[X2=v]P[X3=1] (第2種算法)

而第3種算法完全沒道理!

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2008-05-21 17:46:31 UTC

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可以將這45根籤做排列，共有45!種可能; 其中，第三個位置中籤的情況有5*44!。

不妨想成每一次都有45個人去抽籤，那麼考慮第三位中籤的機率就是5*44!/45!=1/9。

事實上，不管第幾位,中的機率都是1/9。

當然，如果抽完又放回，所求機率依舊是1/9 (=5/45)。

--
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2008-05-22 12:14:09 UTC

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TTSSHH所列的三種算法，個人認為只有第一種正確，其他如諸位網友所解釋，只是巧合的
相同。

第一種: 依序抽籤，抽後不放回。

第二種: 依序抽籤，抽後放回。

第三種: 依序抽籤，前兩位抽後放回，之後按照前兩位的結果(中籤數或不中籤數)，丟掉

中的籤或不中的籤。第三位開始進行剩下的43支籤，且抽後不放回。

這三種抽法，規則並不相同，但都是1/9的機率，所以亂用都會對，雖然觀念不對。

直觀解法：以第3次的結果來看，這三種抽法都會出現45種不同的籤，而且機會都一樣，

所以都是1/9(=5/45)。

嚴謹解法 (解釋請參考前一篇回文):

Case 1: 5*44!/45! = 1/9。

Case 2: 5*(45^44)/(45^45) = 1/9。

Case 3: ( 5 * 5 * 3 * 42! + 5 * 40 * 4 * 42! + 40 * 5 * 4 * 42! + 40 * 40 *

5 * 42! ) / (45 * 45 * 43 !)

= 1/9 * 1/9 * 3/43 + 1/9 * 8/9 *4/43 + 8/9 * 1/9 *4/43 + 8/9 * 8/9 *

5/43 (書上的算法)

= 1/9

結論,因為答案都是1/9，所以容易誤會這些方法都可以(除非你已經看穿他們必然相等)。

※ 引述《supery》之銘言：

Post by s***@bbs.wretch.cc
可以將這45根籤做排列，共有45!種可能; 其中，第三個位置中籤的情況有5*44!。
不妨想成每一次都有45個人去抽籤，那麼考慮第三位中籤的機率就是5*44!/45!=1/9。
事實上，不管第幾位,中的機率都是1/9。
當然，如果抽完又放回，所求機率依舊是1/9 (=5/45)。