請問可數不可數還有無限有限的問題

數學所英文組 ~^.^~

2004-08-29 17:35:11 UTC

我最近才接觸這方面的問題但是覺得很亂
我翻書只知道可數就是有限

這不正確.

但是不可數有分無限跟有限

不可數僅有無限才會談. (見內容 (5))

可數只要是一對一就好嗎
還是要有什麼條件嗎?
之前寫題目有個題目是說
2^n算是什麼呢
如果n=1.2.3.....
n的表示方式會跟可數不可數有關嗎?
麻煩解惑如果能說明一下定義是最好不過了謝謝!!^^

(導引)
在 Cantor 之前, 絕大部分的數學家都會覺得無窮就是無窮, 不會去區分個數多寡.
當 Cantor 給出可數不可數的概念後, 產生了許多有趣的數學問題. 最富盛名的是
連續統假說. 到目前為止, 我們還沒點出什麼是可數不可數.先不去管可數不可數.
你得知道的是怎麼去估算集合內的個數. 如果一集合內僅有有限多個數, 那麼顯然
這些數可以被數出來.(很粗略的講法). 但一個集合內的個數如果有無窮多個,那慘
了, 如何去數?

(內容)
Cantor 警覺到即使是無窮多個, 還是有大小之分. (這是基數 Cardinal number 理
論) 你現在知道的是實數系統是怎麼安排的. 因為這才能給你具體的例子去想像.我
們學習的過程裡, 先學自然數(或說正整數) 然後引進整數. 再來有理數, 再來實數.
以數學符號寫為: N < Z < Q < R, 其中 "<" 表示集合包含關係.

一個結論是: N, Z, Q, 皆為可數. 但 R 不可數.

命 #(S) 此符號表為集合 S 的個數, 那麼, 以符號 χ_0 與 c 分別表示其基數.即:
#(N) = #(Z) = #(Q) = χ_0, called aleph zero or aleph null 且 #(R) = c (
= can be proved = 2^(χ_0) ). 到現在為止, 你應該會很自然地猜測幾個重要的事
實:
(1) R 的個數比 N, Z, Q 來得多. (一個理由: 2^(χ_0) > χ_0 ).
(2) 兩個可數集的聯集依然可數. (一個理由: χ_0 + χ_0 = χ_0).
(2) 任何可數集的子集合必定為可數集 (想想: N, Z, Q).
(3) 一個不可數集合, 他的子集合可以可數, 也可以不可數. (想想: (2) )
(4) 任何一個集合一定包含一個可數子集合.
(5) 有限集合的個數 < χ_0 < c.
(6) etc.

(結論)
以上都是給了你簡單的概念, 沒有提到可數不可數的定義. 只講了一些結果. 至於;
如何得到這些結果? 那僅有去讀書. 至於讀什麼書? 我個人推薦, Set Theory and
Related Topic by Lipschutz. (國內, 水牛出版社有中文本, 集合論導引)
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劍，摧死折生瞬念間，驚魂魄，斷滅戰未酣。
劍，刺破虛空鍔亦殘，天誰毀？唯我劍廿三。
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