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n/72 = 0.abcdddddd...= 0.abcd
n is a integer such that 1<= n <=71
Find all possible solution (n, a, b, c, d).
筆者提出一個想法但不是很嚴謹:
我們先從n = 1~9的情形來觀察:
n/72 = (1/8)*(1/9)*n
= (0.125)*(0.1111......)*n ...... (#)
此時將(0.125)*(0.1111......)看成(0.125)*(0.1 + 0. 1 + 0.001 + ...)
並且寫成直式(右邊附上一般情形作為參考):
0 . 0 1 2 5 0 . 0 a b c
0 . 0 0 1 2 5 0 . 0 0 a b c
0 . 0 0 0 1 2 5 0 . 0 0 0 a b c
0 . 0 0 0 0 1 2 5 0 . 0 0 0 0 a b c
. .
. .
. .
--------------------- ---------------------
於是我們可以看出在此規則下的確會在小數點後第四位開始循環,因為
從該位開始每一位都是5 + 2 + 1 (一般情形下是a + b + c)
因此在本題中n值的選擇必須不破壞此規則,於是我們很容易發現n不能
是偶數,因為這會使得(#)式第一個括號變成兩位小數,將使得原數在小
數點 第三位便產生循環.再者,n也不能是9,因為此時(#)第二個
括號會變成整數.因此我們得知,n = 1 or 3 or 5 or 7皆滿足題目要求.
並且綜上所述,可以推論出只要n不是2或9的倍數,皆可滿足題目要求.
最後剩下的麻煩是:當n夠大的時候有沒有可能出現如下的情況造成在小
數點後第三位便循環:
0 . ? ? 5 0 . ? ? c
0 . 0 1 2 5 0 . 0 a b c
0 . 0 0 1 2 5 0 . 0 0 a b c
0 . 0 0 0 1 2 5 0 . 0 0 0 a b c
0 . 0 0 0 0 1 2 5 0 . 0 0 0 0 a b c
. .
. .
. .
--------------------- ---------------------
我們首先觀察,有可能發生此情況的條件是要加入一個三位小數,且其小數
點後第三位必須是5,因此滿足此條件的有 0.125 , 0.375 , 0.625 , 0.857
換成分數則是 9/72 , 27/72 , 45/72 , 63/72
於是可以看出,當我們使用 1/72 , 3/72 , 5/72 , 7/72 其中之一,加上上述
四個數字的之一,則分子部分將會變成偶數,這已經在我們先前推論的條件範
圍外了.
僅供參考 高斯教授 2009/11/26
PS:其實這題亦可以使用同餘的方法硬找出所有的解,只是筆者想要嘗試找出
這些解的共通性,因此提出以上的推論.若有更為嚴謹的方法尚請不吝賜教!!
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[1;37m□ 本文章由 [33mSJOKER[37m 從 [32mschung1.ch.sinica.edu.tw[37m 發表[m