[問題] 橢圓弦長問題

[...]

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[高斯教授]

想問一題數學：
設橢圓 x^2 y^2
----- + ----- = 1
12 4
則過P(0,2)的弦長為何? Ans：3√2
可以假設此弦之方程式為y=mx+2
然後帶入橢圓方程式，可以有根與係數的關係
但是弦長最後的變數m消不掉，不知該如何求弦長。
請指點~~
謝謝!!

筆者以為此題似乎少了斜率條件.

P點恰好是此橢圓的短軸頂點,因此當斜率 = 0的時候該線為切線.

當斜率改變的時候弦長也會改變.

不過筆者發現您所附的答案看起來是最大弦長,以下提供此最大弦長的算法:


令此橢圓的參數坐標為(2√3cosA,2sinA)

則使用兩點間距離公式可得到弦長 = √[(2√3cosA - 0)^2 + (2sinA - 2)^2]

= √[12cos^2(A) + 4sin^2(A) - 8sinA + 4

= √[12 - 8sin^2(A) - 8sinA + 4]

= √[16 - 8sin^2(A) - 8sinA] ... (*)

(*)式可經由配方得到 √[18 - 2(2sinA - 1)^2]

當sinA = 1/2 時上式有最大值 √18 = 3√2



僅供參考
高斯教授 2009/11/20







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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表