a problem

[托斯卡尼艷陽下]

在[0,1]上隨機出現兩個點A,B

(各點出現機率相同)

試求AB線段長的期望值!

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※ Origin: 醉月風情站(bbs.math.ntu.edu.tw) ◆ From: ccDHCP.Math.NCTU.edu.tw
IP : 140.112.50.3(台大數學系醉月風情站)

[高斯教授]

a是1~50的整數, 且有
7|a^5+1, 11|a^5+1
求a之值. (a|b means that b=ka for some integer k.)

筆者提供一個想法,有錯尚請不吝指正:

(1)先考慮正整數的5次方後除以7所得的餘數:

N | 1 2 3 4 5 6 7 |
---------------------------- (以後循環)
N^5 | 1 4 5 2 3 6 0 |

因此若 7|a^5 + 1 , 則a必須形如7m+6的形式

(2)接著考慮正整數的五次方除以11所得的餘數:

N | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
---------------------------------------
N^5 | 1 10 1 1 1 10 10 10 1 10 |

同理可推得a必須形如 11n+2 , 11n+6 , 11n+7 , 11n+8 四種之一

(3)由於(1)(2)皆須滿足,所以我們可以從m開始代數字檢驗

因為a介在1~50之間,所以m介在0~6之間.

不難發現只有m = 0 , 1 , 5時, n = 0 , 1 , 3有對應的解

此時a = 6 , 13 , 41



僅供參考
高斯教授 2009/09/02


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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

[在蝌蚪與小頭之間]

a(0)=s, a(1)=t,
a(k) + a(k-1)
a(k+1)= --------------
2
(1)Prove that: lim a(n) exists
n->oo
(2)Lim a(n) =?
n->oo

由式子得知 a(k+1) 是 a(k)和a(k-1)的平均數

所以 min(a(k),a(k-1)) < a(k+1) < max(a(k),a(k-1))


a(k) + a(k-1)
a(k+1)= --------------
2

可想成 a(k+1) + a(k+1) = a(k) + a(k-1)


則

 a(2)+a(2)=a(1)+a(0)
a(3)+a(3)=a(2)+a(1)
a(4)+a(4)=a(3)+a(2)
a(5)+a(5)=a(4)+a(3)
.
.
.
a(k-2)+a(k-2)=a(k-3)+a(k-4)
a(k-1)+a(k-1)=a(k-2)+a(k-3)
+ a(k) + a(k) =a(k-1)+a(k-2)
-------------------------------

a(k)+a(k)+a(k-1) = a(1)+a(1)+a(0)


而

lim a(k)+a(k)+a(k-1) = lim 3*a(k) = a(1)+a(1)+a(0)
k->00 k->00


=> 3*( lim a(k) ) = t+t+s
k->00

2t + s
=> lim a(k) = ----------
k->00 3


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= [Origin]  中興電機 拿鐵屋  bbs.ee.nchu.edu.tw 
= [Author] bridge post from avanti33.ee.nchu.edu.tw