三個人猜拳, 一個問題!

[托斯卡尼艷陽下]

三個人猜拳, 同時出拳, 出一次稱為一局,

一直出拳, 直到分出勝負為止.

(不論是1人勝兩人, 或兩人勝一人都算分出勝負!)

假設三個人猜剪刀, 石頭, 布的機率都是1/3

請問[分出勝負所猜的局數]的期望值是幾局呢?


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Post by 托斯卡尼艷陽下
三個人猜拳, 同時出拳, 出一次稱為一局,
一直出拳, 直到分出勝負為止.
(不論是1人勝兩人, 或兩人勝一人都算分出勝負!)
假設三個人猜剪刀, 石頭, 布的機率都是1/3
請問[分出勝負所猜的局數]的期望值是幾局呢?

先從第一局的情況算起,全部情形有3^3 = 27種
分不出勝負的情形有 3 + 3! = 9種
(出一樣) (全異)
因此分出勝負的機率 = (27 - 9)/27 = 2/3
所以期望值 = 1 x 2/3 + 2 x (1/3)(2/3) + 3 x (1/3)^2˙(2/3) + ......(無窮)
據說此數列被稱為"差比混合數列" (前項成等差,後項成等比)
一般令原數列 = S = 1 x 2/3 + 2 x (1/3)(2/3) + 3 x (1/3)^2˙(2/3) + ...
則(1/3)S = 1 x (1/3)(2/3) + 2 x (1/3)^2˙(2/3) + ...
兩式相減得(2/3)S = 1 x 2/3 + 1 x (1/3)(2/3) + 1 x (1/3)^2˙(2/3) + ...
=> S = 1 + (1/3) + (1/3)^2 + ......
= 3/2
僅供參考
高斯教授 2009/07/24

不好意思我只是好奇的是
局數有所謂3/2 局
還是答案是2局嗎?
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