請問行列式為什麼要這麼定義??

[BOBDOG]

請問一下線代觀念好的大大 為什麼2或3階方陣的行列式要定義成ad-bc之型 甚至
4階以上求行列式要用展開成3階以下方陣之和的方法 這麼定義有什麼比較直覺的
看法呢 我實在搞不種這ad-bc所求出的值對其2階方陣有什麼關係 當初又是為了
什麼需要才發展出行列式的呢 請知道的同學解釋一下 ^^
附帶一問 為什麼行秩 = 列秩呢 我書上證明看不太懂 因為假設一個m*n矩陣做列
運算之後 知道在n個行向量所sp的行空間中維度是 k(k<=n) 就是其基底有k個向量
也就是行秩=k 但又為什麼令外m個列向量sp的列空間中也會這樣呢 搞不太懂 可以
幫幫我解釋一下觀念嗎

我提兩個觀點:

(1) 解聯立方程式 ax+by=c , dx+ey=f, 你會自然的得到行列式的 form

(2) 算兩個向量 (a,b) (c,d) 展出的平行四邊行面積, 你也會看到行列式.


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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已相簿 http://wretch.twbbs.org/album 有佈景主題 速度很快o志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬 ljl.iis.sinica.edu.tw海

[風吹頭]

附帶一問 為什麼行秩 = 列秩呢 我書上證明看不太懂 因為假設一個m*n矩陣做列
運算之後 知道在n個行向量所sp的行空間中維度是 k(k<=n) 就是其基底有k個向量
也就是行秩=k 但又為什麼令外m個列向量sp的列空間中也會這樣呢 搞不太懂 可以
幫幫我解釋一下觀念嗎

請洽數學傳播-線性代數基本定理
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[.....]

請問一下線代觀念好的大大 為什麼2或3階方陣的行列式要定義成ad-bc之型 甚至
4階以上求行列式要用展開成3階以下方陣之和的方法 這麼定義有什麼比較直覺的
看法呢 我實在搞不種這ad-bc所求出的值對其2階方陣有什麼關係 當初又是為了
什麼需要才發展出行列式的呢 請知道的同學解釋一下 ^^

關於rank相等的話題 有人回了 在此就不贅述了

各位看官 今天我們要談談何謂所謂的行列式

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序章 從 permutation symbol 談起
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其實關於行列式的定義方式 不只是| a b | = ad - bc
| c d |

一般比較少為人所討論的是用 inversion 的個數來定義 因為比較抽象

在這之前 讓我們先談談所謂的 permutation symbol

Q : 何謂permutation symbol?

A : 這是一組數對 (i,j,k) → { 1, 2, 3 } e.g.

(i,j,k) = (1,3,2) (1,3,3) (2,1,3) 因此 我們不難看出 在此例子中有

3 的 3 次方種排列 其他情形也是一樣的 ( 這裡是說 當

(i,j,k,l) → {1,2,3,4} 時也是一樣的


為了更進一步說明在此先以 (1,2,3) 為例

交換奇數次的稱為 odd permutation e.g. (2,1,3) (1,3,2) (3,2,1)

交換偶數次的稱為 even permutation e.g. (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2)

如果說 有任兩者一樣 ( 或者三者皆同 ) 這個情形在此不被考慮 因為是0

這句話的說明 留到本段的後面

有了這個基礎 便可定義出permutation symbol ε(ijk)


1 if even permutation

ε(ijk) = { -1 if odd permutation

0 otherwise ( that is if i=j or i=k or j=k )


由此可見妳當然也可以把整個定義擴充 i,j,k,l ...

因此 在此我們對整個東西便有個概略的了解了 ε(ijk) = -ε(jik) (這應該不難理解)

如果(i,j,k) = (1,1,2)時 我們也可輕易的看出為何為零了
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終章 所謂的行列式
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有了以上的基礎 便可以定義所謂的行列式了

一般而言 有此一說

det(A) = ε(ijk) a(i1)a(j2)a(k3) = ε(ijk) a(1i)a(2j)a(3k)

由上述的式子 我們不難發現 行列式便被定義為

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31

因此 對於更高階的行列式也是同理 還有另一個式子是這樣的

σ(π) n
det(A) = Σ (-1) Π Ak,π(k) (這個式子比較數學 各位看官參考看看就好了)
π<-Sn k=1

上述的式子中 σ(π) 代表 ( π(1) -- π(n) ) 亦即在n個數中的permutation逆序數

在此 行列式的定義便被簡單勾勒出來了
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後記 從行列式的定義到降階定理
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而所謂的降階 應該是指 laplace expansion ( row expansion and column expansion )

這不是定義出來的 只是證明的篇幅可能會很大 因此在此就從略了

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以上是水世界的數學講座 歡迎批評指教 m(_ _)m
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作者在 04/03/04 20:59:35 從 218-34-225-54.cm.apol.com.tw 修改這篇文章

[老怪物]

請問一下線代觀念好的大大 為什麼2或3階方陣的行列式要定義成ad-bc之型 甚至
4階以上求行列式要用展開成3階以下方陣之和的方法 這麼定義有什麼比較直覺的
看法呢 我實在搞不種這ad-bc所求出的值對其2階方陣有什麼關係 當初又是為了
什麼需要才發展出行列式的呢 請知道的同學解釋一下 ^^

這是一個有趣的問題...但對於歷史我是無能為力的...

不過, 我倒是有興趣談一談行列式的定義...從幾何來看。

一個基本的想法是: 平面上兩向量 (a,b) 與 (c,d) 與原
點 (0,0) 決定的一個平行四邊形面積...如果加上方向的
考慮而允許 "帶正負號的面積" 的話, 正是由 [a,b\\c,d]
的行列式所定義。

空間中三向量 (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) 與
原點 (0,0,0) 決定的平行六面體體積, 允許正負(與方向
有關),則是 [a1,a2,a3\\b1,b2,b3\\c1,c2,c3] 的行列式。

我們可以想像一下: 在 n 維度空間, n 個向量
(a(11),...,a(1n)),....,(a(n1),...,a(n,n))
與原點 (0,...,0) 決定了一個 n 維平行體。這樣的東西
要給予一個 "體積" 量度, 該怎麼做呢?

n 維空間的問題, 可由二維、三維的問題來推想。所以,
假設我們能接受在二維平行四邊形和三維平行六面體得到
的結論, 而定義上列 n 維平行體的一個 "有正負的體積"
就是 [a(11),...,a(1n) \\ .... \\ a(n1),...,a(nn)]
的行列式。

但,[a(11),...,a(1n) \\ .... \\ a(n1),...,a(nn)] 的
行列式 (n 階行列式) 該如何定義?

仍然回到二維、三維的例子。兩個方法來思考:
(1) 平面中平行四邊形面積, 及空間中平行六面體體積,
視為其決定向量的函數, 有甚麼基本特性, 由那些基
本特性足以確定其值?
(2) 從純幾何的想法: 平行四邊形面積是底長乘以高; 平
行六面體體積是底面積乘以高。所以, 可遞迴定義:
n維平行體體積 = 其(n-1)維底之(n-1)維體積 ×高
"1維體積" 等於線段長度(向量長度); "2維體積" 等
於面積。

由想法 (2), 給予 n 個 n 維向量, 取 n-1 個構成 "底",
並決定其 "高"。這方法,等於倒敘一般行列式計算中的化
簡和降階。

由想法 (1), 數學家發現只需要幾個基本性質就足以定義
n 維平行體體積 (或行列式):
[1] 體積的正負號是由考慮這些決定向量的順序決定的。
 若將其中兩向量順序對調, 則體積變號。
[2] 若這 n 個決定向量其中的一個方向不變, 但長度變成 
 k 倍, 則新的平行體體積變成 k 倍。
[3] 若這 n 個決定向量其中一個, 以 u 表示, 是由 (這
 n 個之外的) 另兩個向量 v, w 所合成: u=v+w, 則
 Vol(u, 其他 n-1 個決定向量)
 = Vol(v, 原 n-1 個決定向量)
 + Vol(w, 原 n-1 個決定向量)
對這一個性質, 先從平行四邊形來看: 設
(a,b) = (a',b') + (a",b")
則 (畫圖來看會較清楚):
A((a,b),(c,d))
= A((a',b'),(c,d)) + A((a",b"),(c,d))
然後可再看看平行六面體的情形; 再想像一般 n 維
平行體的樣子。
[4] 由 n 個標準單位向量 (1,0,...,0), (0,1,...,0),
 (0,0,...,1) 決定的平行體, 其體積為 1。
這是一個 "邊長" 1 的 n 維立體, 規定其體積為 1
是合理的。

這就是 n 階行列式, 視為 n 個 n維向量的純量值函數時,
所具有的基本特性; 而由這些特性, 可唯一決定行列式的
值。並且, 由這樣的定義, 可導出餘因式展開式及完整計
算式定義式 (有 n! 項那個)。

參見:
戴秉彝(譯) 代數學基本結構, Ch.11 (或: 11.2節, 305-310).
民62年初版. 徐氏基金會: 科學圖書大庫





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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
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