幾個問題

[wei]

1. (v^2+2)dX+X(1+v)dv=0
請問此為分方程怎麼解呢
謝謝!
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※ 引述《jiaweii (wei)》之銘言：

Post by wei
1. (v^2+2)dX+X(1+v)dv=0
請問此為分方程怎麼解呢
謝謝!

分離變數

(1+v)
---------- dv + 1/X dX =0
(v^2+2)



(1/2)*2v 1
---------- dv + ------------- dv + 1/X dX =0
(v^2+2) (v^2+2)

------------------------------------------------------------
1
∫ ------- dx = (arctan [x/a])/a +C
x^2+a^2

要證明的話
(上下/ a^2)

1/a^2
∫ ----------- dx
(x/a)^2 +1


令u= x/a du = 1/a dx ==> dx =adu


(1/a) du 1
∫ -------------- = (1/a) ∫ -------- du
u^2 +1 u^2 +1

在令 u = tan y , du = sec^2 y dy

y=arctan u

sec^2 y
(1/a) ∫ ----------------------- dy
sec^2 y




(1/a) ∫1 dy =(1/a) y +C

=(1/a) * arctan u +C

=(1/a) * arctan (x/a) +c

---------------------------------------------------------------


(1/2)*2v 1
---------- dv + ------------- dv + 1/X dX =0
(v^2+2) (v^2+2)


(1/2) ln (v^2+2) + arctan [x/√2]/√2 +ln x +C=0
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