餓 破不倫

[漫不經心]

: 考慮拋物線 y^2 = 8x。 設 A(5,4√2) 且 F 是拋物線的焦點，試問
: (a) 如何在拋物線上取一點 P 使得線段 PA 與線段 PF 的長度和最小？
: (b) 證明你想到的方法是正確的。
(a)y^2=4*2*x, 焦距=2 => F(2,0)
PA與PF落在同一直線上時, PA+PF最小

你這個取法一定不會是對的，我只要取 y = 4√2 與拋物線 y^2 = 8x 的交點
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當作 P(4,4√2). 那麼 PA + PB = 7，遠比你取的 P 得到的長度 (約 9.13)

來得小。 所以從直覺上來思考直線距離是最短對曲線是不一定成立的。

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※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: 163.19.108.133

[都幾月了 還不唸書]

: 考慮拋物線 y^2 = 8x。 設 A(5,4√2) 且 F 是拋物線的焦點，試問
: (a) 如何在拋物線上取一點 P 使得線段 PA 與線段 PF 的長度和最小？
: (b) 證明你想到的方法是正確的。
(a)根據光的性質: 光走的路徑總是最短的!
因此, 讓光從A出發, 射向拋物線, 要怎樣才會讓反射的光通過F呢?
是的! 就是讓光走 y=4√2 這條線, 往左射出!
(拋物線光學性質: 與拋物線對稱軸平行的光, 經拋物線反射後會通過焦點!)
光會與拋物線交在 P(4,4√2) 這點, 此即點為所求!
(b)光的性質: 光走的路徑總是最短的!

通解
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首先給定有的拋物線Γ和點A 找出Γ上的一點P 使得 PA+PF 為最小。
其中拋物線Γ的焦點為F 準線為D
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1. 如果點A在Γ外 則連接 AF 必穿過拋物線Γ 此交點為所求點P
2. 如果點A在Γ上 則P=A為所求
3. 如果點A在Γ內 則過點A做準線D的垂線E 必穿過拋物線Γ 此交點為所求點P



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□ 本文章由 weeeeeeeeell 從 pc217.Math.NCTU.edu.tw 發表