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[托斯卡尼艷陽下]

有一個四位數, 由4,4,5,7四個數字構成,

已知它是13的倍數, 試求出此四位數.


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[高斯教授]

Post by 托斯卡尼艷陽下
有一個四位數, 由4,4,5,7四個數字構成,
已知它是13的倍數, 試求出此四位數.

由於只有12種四位數,因此直接將每一種都除以13看看似乎也是可行的.

筆者在此提供另一種方法,或許對於較多位數或較大的數字會方便一點:


首先,不管這四個數字怎麼排,一定比4444還要大,因此我們考慮將原數

寫成 4444 + 1000x + 100y + 10z + t , 其中我們知道x,y,z,t中某兩

個是0 , 另外兩個分別是1跟3 ,接下來我們將上式對13做模,得到:
_ _
原數 = -2 - x - 4y - 3z + t = 0 (mod 13)

此時數字很小,不難找出(x,y,z,t) = (1,0,0,3) 或 (0,3,0,1)

亦即原數 = 5447 或 4745



僅供參考
高斯教授 2010/01/14



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[托斯卡尼艷陽下]

※ 引述《***@kulu.twbbs.org (高斯教授)》之銘言：
: ※ 引述《***@bbs.math.ntu.edu.tw (托斯卡尼艷陽下)》之銘言：
: > 有一個四位數, 由4,4,5,7四個數字構成,
: > 已知它是13的倍數, 試求出此四位數.
: 由於只有12種四位數,因此直接將每一種都除以13看看似乎也是可行的.
: 筆者在此提供另一種方法,或許對於較多位數或較大的數字會方便一點:
: 首先,不管這四個數字怎麼排,一定比4444還要大,因此我們考慮將原數
: 寫成 4444 + 1000x + 100y + 10z + t , 其中我們知道x,y,z,t中某兩
: 個是0 , 另外兩個分別是1跟3 ,接下來我們將上式對13做模,得到:
: _ _
: 原數 = -2 - x - 4y - 3z + t = 0 (mod 13)


也就是說 x+4y+3z+2-t = 0 (mod 13)

不難看出, x+4y+3z+2-t的最大值為17,
發生在 (x,y,z,t)=(0,3,1,0)之時;
最小值為0, 發生在 (x,y,z,t)=(1,0,0,3)時.

因此 0≦x+4y+3z+2-t≦17

故 x+4y+3z+2-t=0 或 13

前者即為 x+4y+3z+2=t, 可知 x=1, t=3, y=z=0

後者即為 x+4y+3z+2=t+13≧13, 可知 y=3或 z=3, 但z=3時有

x+4y=t+2, 此式無解, 故y=3, t=1, x=z=0

: 此時數字很小,不難找出(x,y,z,t) = (1,0,0,3) 或 (0,3,0,1)
: 亦即原數 = 5447 或 4745
: 僅供參考
: 高斯教授 2010/01/14

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