a problem

[托斯卡尼艷陽下]

a,b,c為1到100間的三個相異正整數

若a^2+b^2-c^2=1

求(a,b,c)=?



--
※ Origin: 醉月風情站(bbs.math.ntu.edu.tw) ◆ From: 61.60.108.236
IP : 140.112.50.3(台大數學系醉月風情站)

[Test]

Post by 托斯卡尼艷陽下
a,b,c為1到100間的三個相異正整數
若a^2+b^2-c^2=1
求(a,b,c)=?

猜測

大概只有 a^2+b^2 = c^2 + 1^2

=> a or b =1
b or a =c

這種方式

--
※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: Wing.Dorm8.NCTU.edu.tw
作者從 Wing.Dorm8.NCTU.edu.tw 修改文章於 2009/04/13 Mon 22:02:56

[托斯卡尼艷陽下]

※ 引述《obel (托斯卡尼艷陽下)》之銘言：
: a,b,c為1到100間的三個相異正整數
: 若a^2+b^2-c^2=1
: 求(a,b,c)=?


(a,b,c)=(7,11,13) or (11,7,13)


--
※ Origin: 醉月風情站(bbs.math.ntu.edu.tw) ◆ From: 125-231-129-100.dynamic.hinet.net
IP : 140.112.50.3(台大數學系醉月風情站)

[小貓]

Post by Test

Post by 托斯卡尼艷陽下
a,b,c為1到100間的三個相異正整數
若a^2+b^2-c^2=1
求(a,b,c)=?

猜測
大概只有 a^2+b^2 = c^2 + 1^2
=> a or b =1
b or a =c
這種方式

奇偶的可能性：全奇 或是a,b,c中恰有一為奇

下為 "除了a or b =1以外 試著找出其他的所有可能解"
所以假設 a,b≠1 => a,b>1

a^2+b^2-c^2 = 1
=> a^2-1 = c^2-b^2 (b^2>1 => c^2>a^2 => c>a, 同理當a,b互換, c>b)
=> (a+1)(a-1) = (c+b)(c-b) (令A := a+1, C := c+b 另可知C>A)
=> A(A-2) = C(C-2b)
=> A^2-2A-C^2+2bC = 0
=> A^2-2A-C^2 = -2bC (A,C同奇偶=>a+1,c+b同奇偶)
=> (C^2-A^2+2A)/2C = b (∵b為整數, ∴C|A(A-2))

得到結果
1.先挑A
2.再找C,滿足 C|A(A-2)、C>A
3.計算b = (C^2-A^2+2A)/2C
4.計算a = A-1, c = C-b

example
1.挑A = 2093 = 7*13*23
2.令C = 48093 = 23*2091|2093*2091
3. b = (48093^2-2093^2+2*2093)/2*48093 = 24001
4. a = 2092, c = 48093-24001 = 24092
驗證 2092^2 + 24001^2 - 24092^2 = 4376464 + 576048001 - 580424464 = 1

不過做法尚有很大的改進空間

--
※ Origin: 交大應數資訊站 <bbs.math.nctu.edu.tw>
◆ From : pc217.Math.NCTU.edu.tw 

[Ar藤]

Post by 小貓

Post by Test
猜測
大概只有 a^2+b^2 = c^2 + 1^2
=> a or b =1
b or a =c
這種方式

奇偶的可能性：全奇 或是a,b,c中恰有一為奇
下為 "除了a or b =1以外 試著找出其他的所有可能解"
所以假設 a,b≠1 => a,b>1
a^2+b^2-c^2 = 1
=> a^2-1 = c^2-b^2 (b^2>1 => c^2>a^2 => c>a, 同理當a,b互換, c>b)
=> (a+1)(a-1) = (c+b)(c-b) (令A := a+1, C := c+b 另可知C>A)
=> A(A-2) = C(C-2b)
=> A^2-2A-C^2+2bC = 0
=> A^2-2A-C^2 = -2bC (A,C同奇偶=>a+1,c+b同奇偶)

請問一下
這裡的"(A,C同奇偶=>a+1,c+b同奇偶)"的作用是什麼
完全不管奇偶 直接兩邊同除2C會有什麼問題嗎@@

感謝

Post by 小貓
=> (C^2-A^2+2A)/2C = b (∵b為整數, ∴C|A(A-2))
得到結果
1.先挑A
2.再找C,滿足 C|A(A-2)、C>A
3.計算b = (C^2-A^2+2A)/2C
4.計算a = A-1, c = C-b
example
1.挑A = 2093 = 7*13*23
2.令C = 48093 = 23*2091|2093*2091
3. b = (48093^2-2093^2+2*2093)/2*48093 = 24001
4. a = 2092, c = 48093-24001 = 24092
驗證 2092^2 + 24001^2 - 24092^2 = 4376464 + 576048001 - 580424464 = 1
不過做法尚有很大的改進空間

--
※ Origin: 楓橋驛站<bbs.cs.nthu.edu.tw>
◆ From: Arton @140.114.229.83

[小貓]

奇偶的可能性：全奇 或是a,b,c中恰有一為奇
下為 "除了a or b =1以外 試著找出其他的所有可能解"
所以假設 a,b≠1 => a,b>1
a^2+b^2-c^2 = 1
=> a^2-1 = c^2-b^2 (b^2>1 => c^2>a^2 => c>a, 同理當a,b互換, c>b)
=> (a+1)(a-1) = (c+b)(c-b) (令A := a+1, C := c+b 另可知C>A)
=> A(A-2) = C(C-2b)
=> A^2-2A-C^2+2bC = 0
=> A^2-2A-C^2 = -2bC (A,C同奇偶=>a+1,c+b同奇偶)

請問一下
這裡的"(A,C同奇偶=>a+1,c+b同奇偶)"的作用是什麼
感謝

後面補的那句"(A,C同奇偶=>a+1,c+b同奇偶)"
是來自A^2-2A-C^2要能除以2C，b才會是整數
把它再分成兩部份
一是要能被2除 二是要能被C除

要能被2除的話，那A^2-C^2就是要偶數，也就是A,C同奇偶性
而這個條件恰好跟一開始的條件 "全奇 或是a,b,c中恰有一為奇"一樣

再來是要能被C除，所以生出另一個條件 C|A^2-2A

--
※ Origin: 交大應數資訊站 <bbs.math.nctu.edu.tw>
◆ From : pc217.Math.NCTU.edu.tw