分享一個題目

[高斯教授]

分享一個多年前筆者曾經遇到過的題目:


給定一個正三角形ABC , 已知在正三角形外有一點P ,

P與A分別在線段BC的兩側 , 且滿足角BPC = 30度 ,

試證明 PA^2 = PB^2 + PC^2


註:本題為筆者一位高中同學參加升學甄試所遇到的題目(筆者
不了解其甄試規則,僅記得參加資格為全校數學成績前1%者)
,甄試結束後筆者與該同學討論出一種解析幾何式的證明方
法.然而筆者卻在多年後的某天家教課中,從國中參考書的題
目得到靈感,發現了另一種純平面幾何的證明方法,於是對這
道題目留下難忘的印象,也深刻體會到一題多解的趣味.筆者
相信,也許各位板友會提出更多有趣的證明方法!!



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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

[清澈不見底]

P�PA��O�b�u�qBC���ⰼ , �B������BPC = 30�� ,
���ҩ� PA^2 = PB^2 + PC^2

�HA�����߱���60��

APP'�����T����AP=PP'

PP'C��PP'B'�����y�����T����PA^2=PP'^2=CP^2+B'P'^2=PB^2+PC^2

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���� ____�� by prime2477
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[清澈不見底]

※ 引述《prime2477 (清澈不見底)》之銘言：

Post by 高斯教授
給定一個正三角形ABC , 已知在正三角形外有一點P ,
P與A分別在線段BC的兩側 , 且滿足角BPC = 30度 ,
試證明 PA^2 = PB^2 + PC^2

以A為中心旋轉60度
APP'為正三角形→AP=PP'
PP'C或PP'B'為等腰直角三角形→PA^2=PP'^2=CP^2+B'P'^2=PB^2+PC^2
得證

謝謝SJOKER來信提醒

我的證明只考慮到在PA與BC為中垂線時的情況

證明中:

PP'C或PP'B'為等腰直角三角形

應修改為:

PP'C或PP'B'為直角三角形


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＊ Origin: 中正築夢園 (CcuDream.twbbs.org) ★ From: 114.40.115.238