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[托斯卡尼艷陽下]

一拋物線的對稱軸平行y軸, 且過A(0,a), 其中a>0.
又已知Γ與x軸交於B,C兩點, 如下圖:

y
|
| Γ
\ | /
\| /
A(a,0) |\ /
| \ /
|1 \ B C /
-------------------------- x
O | '. 2 .'
| ---

已知AB弧, AO, BO所夾的面積1, 等於BC與BC弧所夾的面積2
試求出 Γ 的方程式.

(提示: 解答為一般式, 例如像 y=kx^2+2k 這種含未定常數在內的式子).

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[(short)(-15074)]

Post by 托斯卡尼艷陽下
一拋物線的對稱軸平行y軸, 且過A(0,a), 其中a>0.
y
|
| Γ
\ | /
\| /
A(a,0) |\ /
| \ /
|1 \ B C /
-------------------------- x
O | '. 2 .'
| ---
已知AB弧, AO, BO所夾的面積1, 等於BC與BC弧所夾的面積2
試求出 Γ 的方程式.
(提示: 解答為一般式, 例如像 y=kx^2+2k 這種含未定常數在內的式子).

令Γ為 y=A(x-b)(x-c)=Ax^2-Abx-Acx+Abc，即令 B(b,0), C(c,0), 0<b<c, a=Abc

b | b
面積1 = ∫Γdx = (A/3)x^3 - (Ab/2)x^2 - (Ac/2)x^2 + Abcx |
0 | 0
= Ab^3/3 - Ab^3/2 - Ab^2c/2 + Ab^2c

= -Ab^3/6 + Ab^2c/2
c | c
面積2 = ∫-Γdx = -(A/3)x^3 + (Ab/2)x^2 + (Ac/2)x^2 - Abcx |
b | b
= (-Ac^3/3 + Abc^2/2 + Ac^3/2 - Abc^2)
-(Ab^3/3 - Ab^3/2 - Ab^2c/2 + Ab^2c)

= Ac^3/6 - Abc^2/2 - Ab^3/6 + Ab^2c/2

以上兩式相等可得

Ac^3/6 - Abc^2/2 = 0

(Ac^2/6)(3b-c)=0

解得 A=0 (不合) 或 c=0 (不合) 或 c=3b

因此Γ即為 y = A(x-b)(x-3b) = Ax^2 - 4Abx + 3Ab^2, 其中 A=a/3b^2>0, b>0

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