Post by ææ¯å¡å°¼è·é½ä¸已知 m,n 是自然數，且 x 的方程式 4x^2 - 2mx + n = 0
的兩根都大於1且小於2，
試求 m,n 之值＝？
筆者提供一個想法,有錯尚請不吝指正:
首先,由於兩根皆大於1且小於2 , 故此拋物線f(x) = 4x^2 - 2mx + n
的對稱軸亦應介在 1~2 之間 , 因為對稱軸 x = m/4 , 我們有
1 < m/4 < 2 , 整理得到 4 < m < 8
另一方面 , 由於開口向上 , 表示f(1)與f(2)皆必須 > 0
因此我們有 n + 4 > 2m ; n + 16 > 4m
最後,由於兩根確實存在 , 判別式必須大於或等於0
所以我們有 4m^2 - 16n > or = 0 => m^2 > or = 4n
以下就 m 值討論:
(1) m = 5 時:
n + 4 > 2m => n > 6 ...... (i)
n + 16 > 4m => n > 4 ...... (ii)
m^2 > or = 4n => n < or = 6 ...... (iii)
條件(i)與(iii)矛盾,因此 n 無解
(2) m = 6 時:
n + 4 > 2m => n > 8 ...... (iv)
n + 16 > 4m => n > 8 ...... (v)
m^2 > or = 4n => n < or = 9 ...... (vi)
此時 n = 9 是唯一解
(3) m = 7 時:
n + 4 > 2m => n > 10 ...... (vii)
n + 16 > 4m => n > 12 ...... (viii)
m^2 > or = 4n => n < or = 12 ...... (ix)
條件(viii)與(ix)矛盾, n 亦無解
綜合(1)~(3) , 僅(m,n) = (6,9)一組解
此時方程式 4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0 , 解得 x = 3/2 (二重根)
僅供參考
高斯教授 2010/01/22
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