a problem

[托斯卡尼艷陽下]

A是一個銳角!

a=sin(16A), b=sin(17A), c=sin(18A) , d=sin(19A), e=sin(20A)

已知a,e為負數, b,c,d為正數,

請問A所有可能的角度值, 構成怎樣的集合?



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Post by 托斯卡尼艷陽下
A是一個銳角!
a=sin(16A), b=sin(17A), c=sin(18A) , d=sin(19A), e=sin(20A)
已知a,e為負數, b,c,d為正數,
請問A所有可能的角度值, 構成怎樣的集合?

∞
sin θ 為正值的 θ 範圍為 ∪ (2nπ,(2n+1)π)
n=-∞

由於 0 < A < π/2, 故知 20A 和 16A 之差至多為 2π

因此知 [16A,20A] 此一區間中 sin 只有兩個根

(由 sin(16A) 和 sin(20A) 同號知其中 sin 的根有偶數個

再由 sin(16A) 和 sin(17A) 異號知至少有兩個

但若有四個根 則 20A-16A 至少要是 3π (即連續四根的距離) 矛盾)

由此知對某個 n 有 16A < 2nπ < 17A < 18A < 19A < (2n+1)π < 20A

因此對同一個 n, A < 2nπ/16; A > 2nπ/17; A < (2n+1)π/19; A > (2n+1)π/20

取交集 注意到 2n(19) = 38n > 32n+16 = (2n+1)(16) 在 6n>16 => n>=3 時成立

即 2nπ/16 > (2n+1)π/19 在 n>=3 時成立;

又 2n(20) = 40n > 34n+17 = (2n+1)(17) 在 6n>17 => n>=3 時成立

即 2nπ/17 > (2n+1)π/20 亦在 n>=3 時成立。

因此 n>=3 時, 交集為 2nπ/17 < A < (2n+1)π/19

但此時 2n(19) = 38n >= 34n+17 = (2n+1)(17) 在 4n>=17 => n>=5 時成立

故此不等式只在 n=3,4 時不為空集合

即為 (6π/17,7π/19)∪(8π/17,9π/19)

n<3 時, 交集為 (2n+1)π/20 < A < 2nπ/16

而此時 (2n+1)(16) = 32n+16 >= 40n = 2n(20) 在 8n<=16 => n<=2 時成立

故知對 n<3 的整數, 此不等式皆為空集合

因此所求 A 之可能值之集合即為 (6π/17,7π/19)∪(8π/17,9π/19)


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