a problem

[托斯卡尼艷陽下]

三角形PQR, 在P,Q,R三點所對的邊上各取P',Q',R'三點

使得P'Q'R'的重心與PQR的重心相同, 試.....

試問何時P'Q'R'的面積最小?


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[(short)(-15074)]

※ 引述《SJOKER (高斯教授)》之銘言：

x^2 - 2xy + 1 = 2 => (x - y)^2 = 2 => x - y = √2 或 -√2

^^
這裡是1 但不是y^2

第二式同理可得x + y = √2 或 -√2
兩結果聯立即可得四個解.
僅供參考
高斯教授 2009/03/24

代數解法：
x^2-2xy=1 ----(1)
y^2+2xy=1 ----(2)
(1)+(2) x^2+y^2=2 ----(3)
(1)-(2) x^2-y^2=4xy --(4)
先觀察 if x=0 then (1)矛盾;
if y=0 then (2)矛盾.
則可令 x,y≠0
(4)可改寫為 (x/y)-(y/x)-4=0
令 x/y=t 得 t-(1/t)-4=0
t^2-4t-1=0
公式解 t=(4±√12)/2=2±√3

b^2-4ac = 4*4+4*1 = 20 不是12... (c=-1啊)

所以應該是 2±√5

此時x=(2±√3)y代回(2)比代回(3)快
y^2+2ty^2=1
y^2=1/(1+2t)=1/(3±√3)

所以這裡應該是 1/(5±2√5)

然後有4個y 對應4個x
打鐘了
原諒我的虎頭蛇尾吧

我來補完

由於 y = ±1/√(1+2t)

故 x = ty = ±t/√(1+2t) = ±√(t^2/(1+2t))
= ±√((4t+1)/(2t+1)) (t 滿足 t^2-4t-1=0)
= ±√(2-1/(2t+1))

代入 t 之值並化簡 (1/(2t+1) = 1/(5±2√5) = (5-+2√5)/5 = 1-+2/√5
故 2 - 1/(2t+1) = 1±2/√5)

即得四組解為

(x,y) = (√(1-2/√5), √(1+2/√5))
(√(1+2/√5), √(1-2/√5))
(-√(1-2/√5), -√(1+2/√5))
(-√(1+2/√5), -√(1-2/√5))


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[龍貓公車]

Post by (short)(-15074)

^^
這裡是1 但不是y^2
代數解法：
x^2-2xy=1 ----(1)
y^2+2xy=1 ----(2)
(1)+(2) x^2+y^2=2 ----(3)
(1)-(2) x^2-y^2=4xy --(4)
先觀察 if x=0 then (1)矛盾;
if y=0 then (2)矛盾.
則可令 x,y≠0
(4)可改寫為 (x/y)-(y/x)-4=0
令 x/y=t 得 t-(1/t)-4=0
t^2-4t-1=0
公式解 t=(4±√12)/2=2±√3

b^2-4ac = 4*4+4*1 = 20 不是12... (c=-1啊)
所以應該是 2±√5

此時x=(2±√3)y代回(2)比代回(3)快
y^2+2ty^2=1
y^2=1/(1+2t)=1/(3±√3)

所以這裡應該是 1/(5±2√5)

然後有4個y 對應4個x
打鐘了
原諒我的虎頭蛇尾吧

我來補完
由於 y = ±1/√(1+2t)
故 x = ty = ±t/√(1+2t) = ±√(t^2/(1+2t))
= ±√((4t+1)/(2t+1)) (t 滿足 t^2-4t-1=0)
= ±√(2-1/(2t+1))
代入 t 之值並化簡 (1/(2t+1) = 1/(5±2√5) = (5-+2√5)/5 = 1-+2/√5
故 2 - 1/(2t+1) = 1±2/√5)
即得四組解為
(x,y) = (√(1-2/√5), √(1+2/√5))
(√(1+2/√5), √(1-2/√5))
(-√(1-2/√5), -√(1+2/√5))
(-√(1+2/√5), -√(1-2/√5))

我在 x^2 + y^2 = 2 之後

直接令 x=√(2-y^2)

代入原式

y^+2y√(2-y^2)=1
=> 2y√(2-y^2)=1-y^2
=> 4y^2(2-y^2)=(1-y^2)^2

就可以解得y^2

答案跟上面是一樣
問題是最後答案這個根號並解不出來阿

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固執
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