請問一個判斷close/open set的問題

[Design]

設 A = [0,1]之間的有理數

請問A為open set, close set還是以上皆非？


可以找一個收斂到sqrt(2)的有理數列，然後說他的極限不在A，

所以A不是close嗎？可是我不知道怎麼找....


謝謝!!




請問一個complete的metric space S可以dense in另外一個更大的

metric space嗎？這種事情可能發生嗎？


不好意思，基礎不好...希望大家幫忙解惑!!謝謝!!



--
夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬 olskesd.rot.sgsnet.se海

[天才軒]

Post by Design
設 A = [0,1]之間的有理數
請問A為open set, close set還是以上皆非？
可以找一個收斂到sqrt(2)的有理數列，然後說他的極限不在A，
所以A不是close嗎？可是我不知道怎麼找....
謝謝!!
請問一個complete的metric space S可以dense in另外一個更大的
metric space嗎？這種事情可能發生嗎？
不好意思，基礎不好...希望大家幫忙解惑!!謝謝!!

第一個問題...其實你的題目不太完整
真的要討論 你應該說明你是在哪個 metric space 中討論
但是在這邊我先當做你在 "整個"實數中討論 A 的開閉性質

A 不是 open 因為 1 在 A 中, 但是對於任意以 1 當作圓心的的open ball
那個open ball不會整個在 A 裡面, 因為ball裡面必定還有無理數
(其實所有A的點都可以用 不一定要用1 只是隨便挑一個就足夠說明了)

A 也不是 closed, 你的想法是對的 不過有個小小的錯誤
因為 sqrt(2)不在A的closure中, 所以你應該找不到你想要的數列...
你要找的是在 A中的無理數, 例如說 sqrt(2)/2
但是因為 Q dense in R, 所以會存在一個有理數列逼近
這個數列是"存在"就可以了 但是在此我並沒有想把它具體寫下來
如果你真的要寫下來一個具體的數列 可以考慮10進位表示法
在此為了方便我先用π說明
π = 3.1415926535...
所以有一個很明顯的有理數列:
s1 = 3
s2 = 3.1
s3 = 3.14
s4 = 3.141
.
.
但是在此我個人認為寫下來並沒有多大的意義...
因為重要的是"Q dense in R" 這個結果


第二個問題
假設 M 是一個 metric space, S 是個 M 的 subspace 而且 S 是completed
而且 S dense in M.

那你隨便取一個 m 在 M 中, 我必有S的數列去逼近,
也就是存在 {sn} 在S 中 , lim sn = m
但是此數列必定是Cauchy sequence, 根據 S 的完備性質 m也一定要在S中
因此 M = S
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[Design]

Post by 天才軒
第二個問題
假設 M 是一個 metric space, S 是個 M 的 subspace 而且 S 是completed
而且 S dense in M.
那你隨便取一個 m 在 M 中, 我必有S的數列去逼近,
也就是存在 {sn} 在S 中 , lim sn = m
但是此數列必定是Cauchy sequence, 根據 S 的完備性質 m也一定要在S中
因此 M = S

非常感謝您的解答！


第二個問題我還是有點疑惑

書上說Schwartz space S是metrizable(generated by seminorm)且complete


但又有一個定理說

"The Schwartz space is dense in the space of tempered

tempered distributions ( and also dense in L^p with respect

to uniform convergence )"


這不是說S 為 L^p 的subspace且S完備嗎？

還是我哪裡搞錯了？@@


再次感謝您的回答！！

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[我愛清大]

※ 引述《Rhymer (Design)》之銘言：

Post by Design

Post by 天才軒
第二個問題
假設 M 是一個 metric space, S 是個 M 的 subspace 而且 S 是completed
而且 S dense in M.
那你隨便取一個 m 在 M 中, 我必有S的數列去逼近,
也就是存在 {sn} 在S 中 , lim sn = m
但是此數列必定是Cauchy sequence, 根據 S 的完備性質 m也一定要在S中
因此 M = S

非常感謝您的解答！
第二個問題我還是有點疑惑
書上說Schwartz space S是metrizable(generated by seminorm)且complete
但又有一個定理說
"The Schwartz space is dense in the space of tempered
tempered distributions ( and also dense in L^p with respect
to uniform convergence )"
這不是說S 為 L^p 的subspace且S完備嗎？
再次感謝您的回答！！

S是L^p的子空間，並且是dense

S本身是一個完備的距離空間，但這個距離並不是L^p norm，是Frechet metric。
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