a problem

[托斯卡尼艷陽下]

a是個正實數, b為a的小數部分, 0<= b <1,

(Ex: a=1.5, 則 b=0.5)

已知 a^2+b^2=6, 求a=?


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※ Origin: 醉月風情站(bbs.math.ntu.edu.tw) ◆ From: 125-231-129-112.dynamic.hinet.net
IP : 140.112.50.3(台大數學系醉月風情站)

[(short)(-15074)]

Post by 托斯卡尼艷陽下
a是個正實數, b為a的小數部分, 0<= b <1,
(Ex: a=1.5, 則 b=0.5)
已知 a^2+b^2=6, 求a=?

令 a-b=整數n

則知 (n+b)^2+b^2=6

n^2+2nb+2b^2=6

因此 n 有幾個可能:

(1) n=2: 此時 2b^2+4b=2 => b^2+2b-1=0 => b=-1±√2 僅-1+√2合條件

故 a=n+b=2+(-1+√2)=1+√2

(2) n=1: 2b^2+2b=5 => b=(-1±√11)/2 但因√11>3, 故-1+√11>2 不合

(3) n=0: 2b^2=6 b=±√3 顯然不合

(4) n=-1: 2b^2-2b=5 => b=(1±√11)/2 同樣不合

(5) n=-2: 2b^2-4b=2 => b=1±√2 依然不合

故僅有 a=1+√2 一解

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'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
-- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308

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※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: 215-3.m7.ntu.edu.tw

[髒筆]

Post by (short)(-15074)

Post by 托斯卡尼艷陽下
a是個正實數, b為a的小數部分, 0<= b <1,
(Ex: a=1.5, 則 b=0.5)
已知 a^2+b^2=6, 求a=?

令 a-b=整數n
則知 (n+b)^2+b^2=6
n^2+2nb+2b^2=6

只有一種可能

0≦b<1 => 0≦b^2<1 => 5<a^2≦6 => n=2or-2 (題目有說a是個正實數)

Post by (short)(-15074)
(1) n=2: 此時 2b^2+4b=2 => b^2+2b-1=0 => b=-1±√2 僅-1+√2合條件
故 a=n+b=2+(-1+√2)=1+√2
(2) n=1: 2b^2+2b=5 => b=(-1±√11)/2 但因√11>3, 故-1+√11>2 不合
(3) n=0: 2b^2=6 b=±√3 顯然不合
(4) n=-1: 2b^2-2b=5 => b=(1±√11)/2 同樣不合
(5) n=-2: 2b^2-4b=2 => b=1±√2 依然不合
故僅有 a=1+√2 一解

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※ Origin: 交大應數資訊站 <bbs.math.nctu.edu.tw>
◆ From : 220-133-4-16.HINET-IP.hinet.net 

[髒筆]

m,n是介於1到100之間的兩正整數, m>n,
令f(m,n)= |m^(1/2)+n^(1/2)-17.1|
試求 f(m,n) 的最小值, 且請問最小值發生時的(m,n)=?

用程式跑的結果

f(m,n)的最小值是發生在 f(84,63) = | 0.0024053231 |

但是如果稍稍超過範圍馬上有更好的最小值
f(102,49) = | -0.0004950616 |

擴大範圍到正整數時，前三名為

 冠軍 f(154,22) = | 0.0000894058 |
f(133,31) = | 0.0003269575 |
f(228,4) = | -0.0003311294 |

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※ Origin: 交大應數資訊站 <bbs.math.nctu.edu.tw>
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