[問題] 高中數學機率問題

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我想問一題高中數學，

擲一銅板出現正面的機率為p，0<p<1，連續擲此銅板4次，

若第k次出現正面，則得(1/2)^k元，否則得0元，k=1.2.3.4。

設總所得期望值為a，總所得超過1/3元的機率為b，則下列哪些正確？

(A) a為p的一次多項式

(B) 15/16 < a < 1

(C) b為p的二次多項式

(D) p < b < p+p^2

(E) a^2 < b


我知道(A)一定錯，然後我不知道要怎麼找a、b
是不是只能把所有可能列出來，然後一個一個算?
這樣感覺要算很久= =

請高手解答~~
謝謝!!


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我想問一題高中數學，
擲一銅板出現正面的機率為p，0<p<1，連續擲此銅板4次，
若第k次出現正面，則得(1/2)^k元，否則得0元，k=1.2.3.4。
設總所得期望值為a，總所得超過1/3元的機率為b，則下列哪些正確？
(A) a為p的一次多項式
(B) 15/16 < a < 1
(C) b為p的二次多項式
(D) p < b < p+p^2
(E) a^2 < b
我知道(A)一定錯，然後我不知道要怎麼找a、b
是不是只能把所有可能列出來，然後一個一個算?
這樣感覺要算很久= =
請高手解答~~
謝謝!!

由於投擲間是獨立的

第 k 次投擲獲得錢的期望值為 p[(1/2)^k] = p/2^k

4 4
所以 a = Σ p/2^k = p Σ 1/2^k = 15p/16
k=1 k=1

因此 (A) 對 (B) 錯

至於 b, 首先若第一次出正面必然超過 1/3 (1/2 > 1/3)

若第一次出反面 則只有當二三兩次都出正面才超過 1/3 元 (第四次無關)

故機率 b = p + (1-p)p^2 = p+p^2-p^3

因此 (C) 錯 (D) 對 (因為 p<1, 故 p^2>p^3 => p^2-p^3>0)

而 (E)

a^2 = 225p^2/256
= p(225p/256)
< p*1 (顯然的, 因為 p<1)
< p*(1+p-p^2) (同樣因為 p<1 所以 p-p^2>0)
= p+p^2-p^3 = b

故 (E) 也正確

因此本題選 (A)(D)(E)

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才四次而已不用怕啦...
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"LPH" is for "Let Program Heal us".....||

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※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: wlan.csie.ntu.edu.tw