[問題] 關於極限

[A-gine]

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n-1
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n���� k=0 (n^2 + k^2 )^(1/2)


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[(short)(-15074)]

Post by A-gine
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n-1
lim �U _________1__________
n���� k=0 (n^2 + k^2 )^(1/2)
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���D�M

�o�F�誺�M�ѿn��ӹG��

n dk n-1 1 n+1 dk
�� ----------- > �U ----------- > �� -----------
0 ��(n^2+k^2) k=0 ��(n^2+k^2) 1 ��(n^2+k^2)

�Ӥ��w�n��

dk
�� ----------- = ln (k+��(k^2+n^2))
��(n^2+k^2)

�ҥH �����n��Ȭ� ln(n+n��2) - ln n = ln(1+��2)

�k���n��Ȭ� ln(n+1+��(2n^2+2n+1)) - ln(1+��(n^2+1))

n+1+��(2n^2+2n+1) 1+1/n+��(2+2/n+1/n^2)
= ln ----------------- = ln ---------------------
1+��(n^2+1) 1/n+��(1+1/n^2)

���������� ���k�䳣�O ln(1+��2)

�ҥH�Ѯ���w�z�o�ҨD�� ln(1+��2)

--
�Ե^�G�u�e���I�A�u���N�o�˳Q���輤�����l�޹L�h�F��?!�v
���G�u�u�n���ۤk���\�X�ˤ���ˤl�A�Ҧ����n���O�N�����K�A���G�@�I�����a�ڡC�v
�Ե^�G�u���D�A�S���k�H���L�Y�F��?!�v
���G(�_�M�D)�u�S���C�b�`���Y���B�ͬ��Y�����ǥ����e�A�S�����تF���C�v
�С�������Ƿǵȸ������Ƿǵ �ĤG��

--
�� Origin: ���j���@�N(bs2.to)
�� From: wlan.csie.ntu.edu.tw

[漫不經心]

求極限：
n-1
lim Σ _________1__________
n→∞ k=0 (n^2 + k^2 )^(1/2)
麻煩板上的大大們了>""<
謝謝大家~

積分的存在性，LPH 已經證明過了。

1 1
從式子化簡的角度： ------------------ = (1/n) ----------------
√(n^2 + k^2) √(1 + (k/n)^2)

1
本題可視作函數 f(x) = ------------ 在 [0,1] 上的積分，其中分割為
√(1 + x^2)

P = { 0 = x_0 < x1 < .... < x_n = 1 }, Δx = (1-0)/n, 取 c_k 為各個

n-1
子區間 [x_(k-1), x_k] 的左端點, 因此 Riemann sum 為 S(f, P) = Σ f(c_k) Δx.
k=0

剩下的部分只需考慮三角代換法作積分，即命 x = tanθ, θ in (-π/2, π/2).

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※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: 123-195-218-100.dynamic.kbronet.com.tw
作者從 123-195-218-100.dynamic.kbronet.com 修改文章於 2009/03/31 Tue 00:53:44