三個人猜拳, 一個問題!

[高斯教授]

三個人猜拳, 同時出拳, 出一次稱為一局,
一直出拳, 直到分出勝負為止.
(不論是1人勝兩人, 或兩人勝一人都算分出勝負!)
假設三個人猜剪刀, 石頭, 布的機率都是1/3
請問[分出勝負所猜的局數]的期望值是幾局呢?

筆者提供一個想法 :

先從第一局的情況算起,全部情形有3^3 = 27種

分不出勝負的情形有 3 + 3! = 9種
(出一樣) (全異)

因此分出勝負的機率 = (27 - 9)/27 = 2/3

所以期望值 = 1 x 2/3 + 2 x (1/3)(2/3) + 3 x (1/3)^2˙(2/3) + ......(無窮)

據說此數列被稱為"差比混合數列" (前項成等差,後項成等比)

一般令原數列 = S = 1 x 2/3 + 2 x (1/3)(2/3) + 3 x (1/3)^2˙(2/3) + ...

則(1/3)S = 1 x (1/3)(2/3) + 2 x (1/3)^2˙(2/3) + ...

兩式相減得(2/3)S = 1 x 2/3 + 1 x (1/3)(2/3) + 1 x (1/3)^2˙(2/3) + ...

=> S = 1 + (1/3) + (1/3)^2 + ......

= 3/2


僅供參考
高斯教授 2009/07/24




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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

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Post by 高斯教授

三個人猜拳, 同時出拳, 出一次稱為一局,
一直出拳, 直到分出勝負為止.
(不論是1人勝兩人, 或兩人勝一人都算分出勝負!)
假設三個人猜剪刀, 石頭, 布的機率都是1/3
請問[分出勝負所猜的局數]的期望值是幾局呢?

=> S = 1 + (1/3) + (1/3)^2 + ......
= 3/2
僅供參考
高斯教授 2009/07/24

不好意思我只是好奇的是
局數有所謂3/2 局
還是答案是2局嗎?

題目是問期望值

你可以這樣理解:

在很多次分出勝負之後

把每次這樣的所需局數平均起來會接近 3/2

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；
也有人喜歡邊聽歌邊打字。
但是，我有個請求，
選字的時候請專心好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: 122.254.23.234