請問己提高一數學

[高斯教授]

y x
1. 函數log = log 的圖形與直線x+y-5=0共有a個交點，且此a個交點的x座標總和為b
x y
，求數對(a，b)=________。

y x
令k = log = log , 則有x^k = y且y^k = x
x y

於是x^(k^2) = x ,但是x > 0且≠1 , 因此左式僅當k = ±1時成立

亦即y = x或y = x^(-1) , 為一射線與曲線的聯集 , 此圖形將與x + y = 5

有3個交點,由圖形的對稱性可以得到b = 7.5

2. 若k是實數，且不等式2|x-1|-3|x+3|<=k對每一個實數x恆成立，則k的最小值為___

筆者以為此題繪圖是最簡易的方法,若以代數討論則需分為三部分

(1)x ≧ 1 => 2(x-1) - 3(x+3) = -x-11 ≦k , 因為 x > 1 , 取 k = -12

(2)-3 ≦ x ＜ 1 => 2(1-x) - 3(x+3) = -5x - 7 ≦k , 取 k = 8

(3)x ＜ -3 => 2(1-x) - 3(3-x) = x - 7 ≦k , 取 k = -10

綜合(1)~(3)可知當k ≧ 8時原式恆成立

b c a
3. 設a,b,c是都不等於1的相異正數。若a,b,c三數成等比數列，而log ,log ,log
a b c
成等差數列,試求此等差數列的公差？

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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

[-858993460]

Post by 高斯教授

2. 若k是實數，且不等式2|x-1|-3|x+3|<=k對每一個實數x恆成立，則k的最小值為___

筆者以為此題繪圖是最簡易的方法,若以代數討論則需分為三部分
(1)x ≧ 1 => 2(x-1) - 3(x+3) = -x-11 ≦k , 因為 x > 1 , 取 k = -12
(2)-3 ≦ x ＜ 1 => 2(1-x) - 3(x+3) = -5x - 7 ≦k , 取 k = 8
(3)x ＜ -3 => 2(1-x) - 3(3-x) = x - 7 ≦k , 取 k = -10
綜合(1)~(3)可知當k ≧ 8時原式恆成立

其實這題只是在找 2|x-1|-3|x+3| 的極大值 (以其圖形意義即知)

所以後面的取 k = xx 就能理解為 原式 ≧ 或 ≦ xx 後取交集

(1) 是 原式≦-12 (2) 是 -12＜原式≦8

(3) 則是 原式＜8 (上面算錯了 應為 x＜-3 => 2(1-x) - 3(-3-x) = x+11)

故得原式極大值為 8

因此 k 的最小值即為 8

Post by 高斯教授

b c a
3. 設a,b,c是都不等於1的相異正數。若a,b,c三數成等比數列，而log ,log ,log
a b c
成等差數列,試求此等差數列的公差？

令 b = a^x, c = a^y 則因為 a,b,c 三數成等比 故 1,x,y 三數成等差 即 1+y=2x

又 log b = x
a

log c = log c / log b = y/x
b a a

log a = 1 / log c = 1/y
c a

即 x, y/x, 1/y 成等差 即 x + 1/y = 2y/x 去分母得 x^2 y + x = 2y^2

代入 y = 2x-1 即得 x^2 (2x-1) + x = 2(2x-1)^2

2x^3 - x^2 + x = 8x^2 - 8x + 2

2x^3 - 9x^2 + 9x - 2 = 0 易知 x = 1 為根

因式分解得 (x-1)(2x^2 - 7x + 2) = 0

知 x = 1, (7±√33)/4

對應得 y = 1, (5±√33)/2

及對應 1/y = 1, (-5±√33)/4

故所求公差為 (1/y - x)/2 = 0 or -3/2

(不求 y/x 是因為要化簡一個比較複雜的根號...求 1/y 比較快)

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；
也有人喜歡邊聽歌邊打字。
但是，我有個請求，
選字的時候請專心好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: r403m.csie.ntu.edu.tw