Post by å æ²¹..æä¸å®è¡ç1. du是u的微分(differential), 那我想請問這裡的微分跟
導函數有什麼差別? du的定義是什麼?
2. 為啥導數dy/dt 可以看成dy, dy這兩個微分的商阿?
我一直以為dy/dt是 d/dt (y)...對y這個函數根據變數t作微分
3. 也是差不多的問題, 在代換積分法的時候..假設u=g(x)..
則du=g'(x)dx...照這樣看來的話..一般在積分符號裡面的那個dx
是什麼意思...?是一個函數嗎?
謝謝^^
作者: StatGuest (統計過客) 看板: math
標題: Re: [問題]微積分一些符號的涵義
時間: Thu Feb 20 20:01:44 2003
※ 引述《***@bbs.hs.ntnu.edu.tw (.......................)》之銘言：
: 不管在積分或者是微分常常會用到dx這種東西...
: 那dx到底代表了什麼意思??
要看放在哪裡而定。
非正式的看法, 可以把它看成 "x 的微量變動"。
: 而一個式子的微分 dy/dx 這種寫法又有什麼意義??
(dy/dx) 是一個符號, 代表 y (是 x 的函數) 對 x 的導數,
也就是 x 的微量變化對 y 的影響強度 (不是影響的幅度)。
也就是說: 如果 x 有 e 的變化 (由 x 到 x+e, e 很小),
則 y 大約有 (dy/dx)．e 的變化量。
: 那在積分的式子中都要乘上一個 dx 又有什麼樣的涵義??
不要把 dx 看成是 "乘上" 的 "量", 它只是積分符號的一部
分, 即: "∫dx" 是一個符號, 代表 "對x軸(x方向)做積分。
: 為什麼積分的時候需要創造一個S的符號,而微分不需要??
"∫" 代表積分運算, "∫dx" 指明了積分運算的細節;
"D" 代表微分運算, 有時加下標 x 來表示對 x 做微分,
這是 (d/dx) 的一個替代符號, "Dy" 就是 "dy/dx"。
: 而究竟一個數或一條式子,乘上了dx或者除以dx到底是什麼意義??
: 要是我把一個數或一條式子前面加上了d,那這條加了d的式子和原來的有什麼關聯??
不要把 "dx" 或 "d" 拆開來看。就像絕對值符號 |a|
左右的 "|" 不宜拆開來問 「乘上 "|" 是甚麼意思」。
作者: StatGuest (統計過客) 看板: math
標題: Re: [問題]微積分一些符號的涵義
時間: Fri Feb 21 22:32:18 2003
※ 引述《***@bbs.hs.ntnu.edu.tw (.......................)》之銘言：
: > 我記得以前高中的時候，數學老師千萬盯聆說：d/dx是一個operator，
: > 千萬不能把他分開。而物理老師卻是肆無忌憚的使用dx來當作微小的量，
: > 偏偏每次算出來都是對的，呵呵。
: 可是我曾經看過一種把變量dx拿來當作數來做計算
是可以的, 說明於後。
: 像是 y= x^2 + 2x + 3 微分後可以寫成 dy/dx= 2x+2
: 然後可以做兩邊共乘dx的運算變成 dy= (2x+2) dx
: 此時dx可以看作一個數嗎?? 那麼這一道dy和dx的關係式又代表了什麼意思??
這是所謂 "differential" 的觀念; 在多變量函數
則稱為 "total differential"。
Differential 的觀念是由 "線性近似" 來的, 也
就是: 若自變數 x 有微量變動, 依變數如何隨 x
的變動量而近似成比例變動?
在單變數, 要表示這種關係, 於是定義
x 的 differential = dx = Δx
y 的 differential = dy = (dy/dx)．dx = (dy/dx)．Δx
注意因 x 是自變數, x 的 differential 就是實際
增量 Δx; 但依變數 y 的 differential 則不等於
實際增量 Δy, 只是當 dx 夠小時, dy≒Δy。在圖
形上, Δy 是沿 y=f(x) 的曲線走的 y 增量; dy則
是延著切線走的增量。
在多變量函數, 如 z=f(x,y), 則
dz = (D f)dx + (D f)dy
x y
這裡 D 下標 x 表示把 y 當常數時 f 對 x 的偏導
數; D 下標 y 則是把 x 當常數時 f 對 y 的偏導。
而 dx, dy 分別是 x, y 的增量。
所以, dx, dy 是後於 (dy/dx) 定義的; 並不是先
有 dx, dy, 然後以 dx 除 dy 來得到 y 對 x 的
導數 (dy/dx)。
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