Post by ææ¯å¡å°¼è·é½ä¸C(m,n)=C(m-2,n+1)+C(m-2,n-2)
求 正整數 m,n.
易知
C(m,n) = C(m-1,n-1)+C(m-1,n)
= C(m-2,n-2)+2C(m-2,n-1)+C(m-2,n)
故 2C(m-2,n-1)+C(m-2,n)=C(m-2,n+1)
約去 C(m-2,n-1), 並記 M = m-2
2+(M-n+1)/n = (M-n+1)(M-n)/n(n+1)
(M+n+1)(n+1) = (M-n+1)(M-n)
n^2+(M+2)n+(M+1) = n^2-(2M+1)n+M(M+1)
3(M+1)n=(M+1)(M-1)
n=(M-1)/3=(m-3)/3
以上過程對 n≧2 皆是合法的
因此所有正整數解為 (m,n) = (3t+3,t) for all integer t≧2.
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n=1 時是否有解需看是否 C(m,n) 採較廣的定義：
若採用 m≧0 時若 n 不在 [0, m] 中時取為 0 的定義, 則 (m,n) = (6,1) 亦為解；
(等號左邊 = 6, 等號右邊 C(4,2)=6, C(4,-1)=0)
若再採用 C(n,m) = n(n-1)...(n-m+1)/m! 之定義使 C(負整數,非負整數) 也有定義,
且由此為基礎利用 C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n) 定義 C(負整數,負整數) 時,
則 (m,n) = (1,1) 亦為解 (等號左邊 = 1, 等號右邊 C(-1,-1)=0, C(-1,2)=1;
易知在此定義下由於 C(n,0)=1 for all integer n, C(n,-1)=0 for all integer n)
此兩解可由在原式中令 n=1 得 m=(m-2)(m-3)/2 解得 m=1 or 6 得到。
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[32m※ Origin: 交大次世代(bs2.to)[m
◆ From: r403m.csie.ntu.edu.tw