Post by ææ¯å¡å°¼è·é½ä¸http://www.math.nthu.edu.tw/~competition/2008/thmc2008.pdf
第六題
筆者提供一個想法,但不是很理想,若有更好解法尚請不吝分享,若有錯誤亦請
不吝指正.
首先,觀察到 3n^2 + 10n -125 = (3n + 25)(n - 5)
因此當 n = 5 時, n^3 + 3n^2 + 10n - 125 = n^3 = 125,滿足題目要求
此時我們順便檢查 n = 1~4 時情況,發現僅 n = 4 時原式為 27 = 3^3
接著我們令 n^3 + 3n^2 + 10n - 125 = (n+k)^3 ( k 是正整數) ..... (1)
由於當 k = 0 時正是我們先前討論的 n = 5 的情況,因此我們只需要從
k = 1 以上開始討論即可.
我們先將(1)式展開化簡,可以得到 (3k-3)n^2 + (3k^2-10)n + (k^3 + 125) = 0
算出判別式 D = f(k) = -3k^4 + 12k^3 - 60k^2 - 1500k + 1600
不難看出當 k = 2 時判別式會 < 0 , 接著我們檢查 k > 2 時判別式是否 < 0 :
微分得到 f'(k) = -12(k^3 - 3k^2 + 10k + 125)
不難證出當 k > 0 的時候會有 f'(k) < 0 (此步省略以精簡篇幅)
因此 f(k) 在 k > 0 時遞減,從而當 k > 2 時皆有 D = f(k) < 0
故僅剩下 k = 1 的情況可能有解,我們將 k = 1 代回(1)式可以很快解出 n = 18
所以本題共有三個解 : n = 4 或 5 或 18
僅供參考
高斯教授 2009/10/15
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