我要多讀點書才行！
2005-10-10 02:36:55 UTC
(1)國中：未證,老師說什麼,不清楚有多少人記得。
國中考慮的是一個任意一個整係數多項式在有理數體上是否可分解。要國中生清楚區別一個方程式在任意一個代數結構上的分解是有點吹毛求瑕的。
例如： 在整數環上，多項式 (2x+4) 在 Z 已不可分解，因為寫成
2(x+2) 和 2x+4 是一樣的，用專業的術語來說，差一 unit 時分解仍
視作相同。但是大多國中老師卻會要求學生將答案寫成前者，
因為參考書上答案大多如此寫。這就表示許多人即使學了代數，觀念仍然不清。
但是在有理數體上我們才可將 (1/2)(4x+8) 和 2x+4 視作一樣。
(2)高中：老師說的是分解，基本上這也是錯的。
高中考慮的是實係數多項式在複數體上是否可分解。但是焦點仍然放在整係數多項式在有理數體上是否可分解。
有以下定理：一個整係數多項式在整數環上可分解的充要條件是
此多項式在有理數體上可分解。
著名的牛頓一次因式檢驗法可由此導出。
(3)大學：
代數基本定理在此才給出嚴謹的敘述和證明講法有三種，但都互為等價。
(1) The field C of all complex numbers
is an algebraically closed field.
(2) Every nonconstant polynomial f in C[x] has a zero in C.
(3) Every nonconstat polynomial f in C[x] can be factor into linear
factors.
非數學系給的是Rouche's rule
Rouche's rule 是說方程式單連通環上的根會吸收環內的根
而環上解z的n次，吸收比z n次還小的項次。
故z的n次加低於n次餘項的一般式,
等於要解 z的n次方，而z的n次方最多衹有n個解。
綜合上說法，z的一般式衹有n個解。
問合理性：
第一：Rouche's rule已假定根的絕對值計算
，而且是衹有複數才遵守，這引理是否合理﹖
所以需要證明C已經是包含所有 C[x] 的根的最大的體，這種性質就是Rouche's rule 是說方程式單連通環上的根會吸收環內的根
而環上解z的n次，吸收比z n次還小的項次。
故z的n次加低於n次餘項的一般式,
等於要解 z的n次方，而z的n次方最多衹有n個解。
綜合上說法，z的一般式衹有n個解。
問合理性：
第一：Rouche's rule已假定根的絕對值計算
，而且是衹有複數才遵守，這引理是否合理﹖
所謂的代數封閉體(algebracally closed field)。 Please refer to
Section31 Algebraic Extension, A first course abstract algebra 7/e,
by John B. Fraleigh.
第二：解z的n次方等於零，也就是有n個重根。
這n個重根，並非複數，但有高半徑R
，限制了更大範圍的複平面﹖
--這n個重根，並非複數，但有高半徑R
，限制了更大範圍的複平面﹖
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