0/0和0^0無意義的嚴謹證明??

[高斯教授]

我知道0/0無意義的說明方法可以用
1.小學的除法定義解釋
2.0X=0解釋
我的證法是
假設0/0=a其中a不等於0
則a=0/0=(0/0)*(2/1)=a*2
因為a不等於0,兩邊同除以a
所以1=2 矛盾
可是這方法是0/0不會等於a 其中a不等於0
與上面的兩法不同之處在於上面兩法是0/0可以是任意數,
所以稱0/0為不定型
感覺有點奇怪!!
且我這方法0/0=0並不會產生矛盾!!
這樣不就0/0可以定義成0了!!
到底哪裡出了錯~~請各位高手幫忙解答!!

筆者並不了解更嚴謹的論證方法,僅提供一些想法作為參考:

若0/0 = a ,則a = 1/a (仍 = 0/0)
因此a = 1 or -1
但是如板友所言, 2a = 2*(0/0) = 0/0 = a
所以a不可能等於1 or -1
故0/0無意義


僅供參考
高斯教授 2008/07/21

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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

[老怪物]

我知道0/0無意義的說明方法可以用

何謂 "無意義"? 何謂 "嚴謹證明"?

我們說 "在複數系不能定義如同實數系中的順序關係" 是
一個定理, 其意義是
(1) 敘述中 "如同實數系中的順序關係" 被要求滿足某些
性質;
(2) 該敘述可被證明而成一個定理, 是因不管如何定義,
都不能滿足所要求的性質.
但並不是說在複數系不可能定義出某種 "順序".


類似地, 0/0 與 0^0 當然也可定義. 如果定義了 0/0 或
0^0, 它們就不再是 "無意義".

因此, 要說 0/0 與 0^0 "無意義", 有兩種意思:
(1) 在某一架構下(如實數中的運算), 我們沒有定義 0/0
及 0^0. 既然 "無定義", 所以 "無意義".
(2) 在某些運算性質的要求下, 無法給予 0/0 及 0^0 的
定義而不違反任一要求.


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[漫不經心]

從抽象代數的角度來看這件事，所謂有理數體 Q 的概念。

事實上是在集合 Z x Z-{0} 上面定義一個等價關係 ~ 為

(a,b) ~ (c,d) if ad = bc (它的意義是將 a/b 和 c/d 看成一樣的充要條件是

ad = bc)。

接著在 Z x Z-{0} 相對於 ~ 構成的等價類的集合 S 上面定義了一般熟知的

分數加法和乘法。

則 S 在此加法和乘法之下就構成了我們熟知的有理數體。

事實上此等價關係可以加以推廣為 ~ 在 Z x Z 上定義成

(a,b) ~ (c,d) if e(ad - bc) = 0 for some e in Z.

易見 ~ 為一等價關係，當我們取 e = 0 時，易見此時 Z x Z 在 ~ 之下的等價類

只有一類 {(0,0)}，這告訴我們如果允許分數的分母為 0，則所有分數在 ~ 的概念

之下只有一個，它就是 (0,0)，一般記成 0/0。 這是一種看法，供您參考。

個人認為這個情形是一個比較沒有討論價值的情形，故一般而言我們要求分母不為 0。

參考資料： Hungerford, GTM, Abstract Algebra.

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作者從 123-195-205-196.dynamic.kbronet.com 修改文章於 2008/07/21 Mon 21:44:18

[漫不經心]

對於 「0^0 沒有定義」的一個直覺的看法是這樣的 (至少末學是這樣想的)。

同樣來自除數希望除數不是零的觀點。 觀察下面的數列，

3, 9, 27, 81, 243

我們由左到右讀一遍，自然是 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5

很自然的，有人會想由右到左讀一遍，就是

3^5, 3^4, 3^3, 3^2, 3^1

易見，由左到右每次「乘以 3」，而由右到左在做逆運算，每次「除以 3」。

很自然的，由右到左讀一遍，將 3^1 再除以 3 就是 1，因此將 3^0 記作 1

是再自然也不過的了。 易見將 3 改成一個非零實數上面過程仍成立，唯一

只有一情形不適用此推論，就是在 3 改成 0 的時候，因除數不為 0 之故。

以上是末學的淺見。

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[火星文真無聊]

我知道0/0無意義的說明方法可以用
1.小學的除法定義解釋
2.0X=0解釋
我的證法是
假設0/0=a其中a不等於0
則a=0/0=(0/0)*(2/1)=a*2

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
a = 2*a => a=0 ，故矛盾

因為a不等於0,兩邊同除以a
所以1=2 矛盾
可是這方法是0/0不會等於a 其中a不等於0
與上面的兩法不同之處在於上面兩法是0/0可以是任意數,
所以稱0/0為不定型
感覺有點奇怪!!

^^^^^^^^^^^^^^^
並沒有任何奇怪，你假設 0/0 為一非0之常數
然後得到矛盾
證明他不會是一個固定的常數
不是一個固定的常數
跟不定型並沒有矛盾

且我這方法0/0=0並不會產生矛盾!!

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
0/0 是你假設的，上面證明矛盾

不代表 0/0 = 0正確

當然你可以定義 0/0 =0

但這樣子 7/0 也變得有意義了

7/0 = ?

7/0 = 0/0 <=> 7*0 = 0*0

一旦定義了 0/0，7/0也必須要有定義

7/0 =0 ，先不說小學的除法定義不能接受

用你的証法也不對

7/0 = 0/1 = 0 = 0/0

=> 7*1 = 0*0 = 0

=> 7 = 0 -><-

這樣不就0/0可以定義成0了!!
到底哪裡出了錯~~請各位高手幫忙解答!!

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[天才軒]

Post by 火星文真無聊

我知道0/0無意義的說明方法可以用
1.小學的除法定義解釋
2.0X=0解釋
我的證法是
假設0/0=a其中a不等於0
則a=0/0=(0/0)*(2/1)=a*2

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
a = 2*a => a=0 ，故矛盾

因為a不等於0,兩邊同除以a
所以1=2 矛盾
可是這方法是0/0不會等於a 其中a不等於0
與上面的兩法不同之處在於上面兩法是0/0可以是任意數,
所以稱0/0為不定型
感覺有點奇怪!!

^^^^^^^^^^^^^^^
並沒有任何奇怪，你假設 0/0 為一非0之常數
然後得到矛盾
證明他不會是一個固定的常數
不是一個固定的常數
跟不定型並沒有矛盾

這樣說法很奇怪
原PO應該是想問: 若在原本實數系統下面是否可把 0/0 定成 0

原PO 假設 0/0 是一個非零實數,
但是最後得到矛盾 所以得到的結論是 "0/0 不會是一個非零實數"
結論怎麼會是"0/0 不會是一個固定的常數"?

末學以為不定型之名稱 應該是來自討論極限式的時候
因為分子分母的速度不同 造成不同極限值的情況
並非說某個元素可以等於兩個不同的東西

Post by 火星文真無聊

且我這方法0/0=0並不會產生矛盾!!

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
0/0 是你假設的，上面證明矛盾
不代表 0/0 = 0正確
當然你可以定義 0/0 =0
但這樣子 7/0 也變得有意義了
7/0 = ?
7/0 = 0/0 <=> 7*0 = 0*0
一旦定義了 0/0，7/0也必須要有定義
7/0 =0 ，先不說小學的除法定義不能接受
用你的証法也不對
7/0 = 0/1 = 0 = 0/0
=> 7*1 = 0*0 = 0
=> 7 = 0 -><-

這樣不就0/0可以定義成0了!!
到底哪裡出了錯~~請各位高手幫忙解答!!

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弄清π是無理數這件事可能是根本沒有實際用處的

但是如果我們能弄清楚那麼肯定就不能容忍不去設法把它弄清楚

 ──E.C.Titchmarsh
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