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[線代]　平面的基底
(时间太久无法回复)
老犽子
2006-01-28 09:38:56 UTC
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有一平面 W：2x - 3y + 4z + 7 = 0

請問我要怎麼求出他的基底呢？

因為我不曉得常數7要怎麼處理．

我目前計算到

x = (3y-4z-7)/2

所以, | (3y-4z-7)/2 | | 3/2 | | -2 | | -7/2 |
| y | = y | 1 | + z | 0 | + | 0 |
| z | | 0 | | 1 | | 0 |

因為我想先span出 W，但是卡住了，麻煩各位指點這題的基底該怎麼求算，謝謝。
--
夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可59-116-37-99.dynamic.hinet.net海
F***@bbs.wretch.cc
2006-01-28 10:24:13 UTC
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※ 引述《qoowind (老犽子)》之銘言：
Post by 老犽子
有一平面 W：2x - 3y + 4z + 7 = 0
請問我要怎麼求出他的基底呢？
因為我不曉得常數7要怎麼處理．
我目前計算到
x = (3y-4z-7)/2
所以, | (3y-4z-7)/2 | | 3/2 | | -2 | | -7/2 |
| y | = y | 1 | + z | 0 | + | 0 |
| z | | 0 | | 1 | | 0 |
因為我想先span出 W，但是卡住了，麻煩各位指點這題的基底該怎麼求算，謝謝。
所以你思考一下向量空間的定義，你就會發現問題出在哪了！
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止218-162-167-79.dynamic.hinet.net海
呃...
2006-01-28 10:26:21 UTC
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※ 引述《qoowind (老犽子)》之銘言：
Post by 老犽子
有一平面 W：2x - 3y + 4z + 7 = 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
W = {(x,y,z)|2x - 3y + 4z + 7 = 0} 不是向量空間

因為 W 裡面沒有 "0"
Post by 老犽子
請問我要怎麼求出他的基底呢？
因為我不曉得常數7要怎麼處理．
我目前計算到
x = (3y-4z-7)/2
所以, | (3y-4z-7)/2 | | 3/2 | | -2 | | -7/2 |
| y | = y | 1 | + z | 0 | + | 0 |
| z | | 0 | | 1 | | 0 |
因為我想先span出 W，但是卡住了，麻煩各位指點這題的基底該怎麼求算，謝謝。
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
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2006-01-28 10:46:58 UTC
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Post by 老犽子
有一平面 W：2x - 3y + 4z + 7 = 0
W：2x - 3y + 4z + 7 = 0 <=> 2x-3(y-1)+4(z+1) =0
令 x* = x , y*=y-1 , z*=z+1 then "2x*-3y*+4z* =0"
W={(x*,y*,z*) | <(x*,y*,z*),(2,3,4)> = 0 }
Post by 老犽子
請問我要怎麼求出他的基底呢？
因為我不曉得常數7要怎麼處理．
我目前計算到
x = (3y-4z-7)/2
所以, | (3y-4z-7)/2 | | 3/2 | | -2 | | -7/2 |
| y | = y | 1 | + z | 0 | + | 0 |
| z | | 0 | | 1 | | 0 |
因為我想先span出 W，但是卡住了，麻煩各位指點這題的基底該怎麼求算，謝謝。
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╚┘╙─ From ： 220.129.11.15  ──────────╛└╝╝
老犽子
2006-01-28 11:59:00 UTC
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※ 引述《Serge45 (呃...)》之銘言：
Post by 呃...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
W = {(x,y,z)|2x - 3y + 4z + 7 = 0} 不是向量空間
因為 W 裡面沒有 "0"
謝謝兩位的點醒，因為平常做到要求基底的題目都是出題者設計好的，

而這題其實是我自己想的，因為我要做一個題目，題目如下：

==============================================================

Find a line passing through (-2,5,-3) and perpendicular to

the plane 2x - 3y + 4z + 7 = 0

===========================================================
以上是題目，我一開始打算用投影的方法去做，步驟如下：

step 1. 先在平面 W: (2x - 3y + 4z + 7 = 0) 上任找一點A: (0,1,-1)

step 2. 令點B:(-2,5,-3)，求出向量v = (AB) = (-2,4,-2)

step 3. 求出平面 W的 basis ，設此basis為β

step 4. 利用β與v求出 v在W上的投影，設此投影為 v0

step 5. 則 v-v0 就是一條通過(-2,5,-3)且與平面W垂直的線了．

但現在才發現W不為向量空間，那我就不曉得要怎麼做這一題了，

請問各位這一題可以從哪方面下手呢？謝謝大家．祝各位新年快樂．
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可59-116-37-99.dynamic.hinet.net海
呃...
2006-01-28 13:50:21 UTC
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※ 引述《qoowind (老犽子)》之銘言：
Post by 老犽子
※ 引述《Serge45 (呃...)》之銘言：
Post by 呃...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
W = {(x,y,z)|2x - 3y + 4z + 7 = 0} 不是向量空間
因為 W 裡面沒有 "0"
謝謝兩位的點醒，因為平常做到要求基底的題目都是出題者設計好的，
而這題其實是我自己想的，因為我要做一個題目，題目如下：
==============================================================
Find a line passing through (-2,5,-3) and perpendicular to
the plane 2x - 3y + 4z + 7 = 0
===========================================================
恕刪

Sol: 設 L 為所求之直線，則 L 的方向向量為該平面之法向量 (2,-3,4)

且 L 過(-2,5,-3)

/ x = -2 + 2t
所以 L = | y = 5 - 3t , where t in R
\ z = -3 + 4t
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止 61-231-38-131.dynamic.hinet.net海
老犽子
2006-01-28 14:41:07 UTC
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※ 引述《Serge45 (呃...)》之銘言：
Post by F***@bbs.wretch.cc
※ 引述《qoowind (老犽子)》之銘言：
Post by 老犽子
謝謝兩位的點醒，因為平常做到要求基底的題目都是出題者設計好的，
而這題其實是我自己想的，因為我要做一個題目，題目如下：
==============================================================
Find a line passing through (-2,5,-3) and perpendicular to
the plane 2x - 3y + 4z + 7 = 0
===========================================================
恕刪
Sol: 設 L 為所求之直線，則 L 的方向向量為該平面之法向量 (2,-3,4)
且 L 過(-2,5,-3)
/ x = -2 + 2t
所以 L = | y = 5 - 3t , where t in R
\ z = -3 + 4t
謝謝你撥空解答，在做這題時，我有想過可以從這個方向去解，

但我的數學基礎很差，連法向量也不曉得，所以我才會繞那麼大

一圈去用正交投影的方式去解。

謝謝各位的幫忙，祝各位新年快樂。

註：我會先去瞭解法向量，再來看懂這個解法的，謝謝。
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可59-116-37-99.dynamic.hinet.net海
呃...
2006-01-28 14:55:26 UTC
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※ 引述《qoowind (老犽子)》之銘言：
Post by 老犽子
※ 引述《Serge45 (呃...)》之銘言：
Post by 呃...
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
W = {(x,y,z)|2x - 3y + 4z + 7 = 0} 不是向量空間
因為 W 裡面沒有 "0"
謝謝兩位的點醒，因為平常做到要求基底的題目都是出題者設計好的，
而這題其實是我自己想的，因為我要做一個題目，題目如下：
==============================================================
Find a line passing through (-2,5,-3) and perpendicular to
the plane 2x - 3y + 4z + 7 = 0
===========================================================
以上是題目，我一開始打算用投影的方法去做，步驟如下：
step 1. 先在平面 W: (2x - 3y + 4z + 7 = 0) 上任找一點A: (0,1,-1)
step 2. 令點B:(-2,5,-3)，求出向量v = (AB) = (-2,4,-2)
step 3. 求出平面 W的 basis ，設此basis為β
step 4. 利用β與v求出 v在W上的投影，設此投影為 v0
step 5. 則 v-v0 就是一條通過(-2,5,-3)且與平面W垂直的線了．
但現在才發現W不為向量空間，那我就不曉得要怎麼做這一題了，
請問各位這一題可以從哪方面下手呢？謝謝大家．祝各位新年快樂．
要用這種做法也可以，只是麻煩了一點 :p

參考 yao721213 板友的做法，利用座標軸的平移，讓 W 在新的座標軸中為向量空間

再用你上面的做法，找出直線方程式，最後再把座標軸平移回來

該直線方程式即為所求
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止 61-231-38-131.dynamic.hinet.net海
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