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[托斯卡尼艷陽下]

A,B,C,D依序在座標平面上的第一,二,三,四象限上,已知四邊形ABCD的面積,
被x軸與y軸分割成四個面積相等的四邊形,

試證明或反證:
A,D對於y軸的對稱點分別為B,C, 且A,B對於x軸的對稱點分別為D,C.

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※ Origin: 醉月風情站(bbs.math.ntu.edu.tw) ◆ From: 140.113.22.70
IP : 140.112.50.3(台大數學系醉月風情站)

[-858993460]

Post by 托斯卡尼艷陽下
A,B,C,D依序在座標平面上的第一,二,三,四象限上,已知四邊形ABCD的面積,
被x軸與y軸分割成四個面積相等的四邊形,
A,D對於y軸的對稱點分別為B,C, 且A,B對於x軸的對稱點分別為D,C.

存在反例。

A(6,6), B(-10,1), C(-3,-3), D(1,-10)

四邊形沿 x = y 對稱

AB 交正 y 軸於 y = 33/8 (即 DA 交正 x 軸於 x = 33/8)

(AB 方程為 y-1 = (5/16)(x+10) 令 x = 0 即得 y = (5/16)(10)+1 = 33/8)

BC 交負 x 軸於 x = -33/4 (即 CD 交負 y 軸於 y = -33/4)

(BC 方程為 x+10 = (-7/4)(y-1) 令 y = 0 即得 x = (-7/4)(-1)-10 = -33/4)

故第一象限內面積 = (33/8)(6)/2*2 = 99/4

第二象限內面積 = 第四象限內面積
= (33/8)(10)/2+(33/4)(1)/2 = 165/8 + 33/8 = 198/8 = 99/4

第三象限內面積 = (33/4)(3)/2*2 = 99/4

即此四邊形 ABCD 滿足題意 但顯然四點中任一點都不是另一點對於兩軸的對稱點

其圖形如下:

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※ Origin: 交大次世代(bs2.to)
◆ From: r403m.csie.ntu.edu.tw

[高斯教授]

Post by 托斯卡尼艷陽下
A,B,C,D依序在座標平面上的第一,二,三,四象限上,已知四邊形ABCD的面積,
被x軸與y軸分割成四個面積相等的四邊形,
A,D對於y軸的對稱點分別為B,C, 且A,B對於x軸的對稱點分別為D,C.

　　　 按照命題的意思來說,似乎等價於ABCD必須至少要是矩形

筆者想到一個可能比較簡略的反例,如有錯誤尚請不吝指正:


"隨便畫一個正方形,把中心貼在原點上,但是四個邊不要跟

x,y軸平行即可"



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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表