a problem

[托斯卡尼艷陽下]

abcd*3=bdce

求所有滿足上式的a,b,c,d,e (五個皆為1~9的正整數, 不包含0)

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[Victor]

abc=7
a^2+b^2+c^2=51
ac+bc=14ab

ab = 7/c
a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 51 - c^2
(a+b) = 14ab/c = 98/c^2
9604/c^4 - 14/c = 51 - c^2
c^6 - 51c^4 - 14c^3 + 9604 = (c-7)(c^5+7c^4-2c^3-28c^2-196c-1372) = 0
c = 7
ab=1, a+b=2, a=b=1

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##### ##### * 我叫 Ｄａｋｏｔａ， *********** ##### #####
## ##### ## * 但其實.............. ********** ## ##### ##
## ### ## * 我曾住在 Ｍｉｃｈｉｇａｎ 州． * ## ### ##
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[高斯教授]

Post by 托斯卡尼艷陽下
abcd*3=bdce
求所有滿足上式的a,b,c,d,e (五個皆為1~9的正整數, 不包含0)

筆者假設obel板友不小心打錯題目,暫時將題目改成:

abcd*3 = bcde
^^^^

一開始令三位數bcd = x , 則有3000a + 3x = 10x + e

=> 7x = 3000a - e

由於a最多不超過3,所以我們可以分別代數字進去解x

(1)a = 1 => 3000 - e 必須是7的倍數 , 故 e = 4 => x = 428

(原式為1428*3 = 4284 , 若要求 a ~ e 相異則此解忽略)

(2)同理 , a = 2 代入可得到原式為2857*3 = 8571 (此解最佳)
2856*3 = 8568

a = 3 代入時無解(因為x > 1000,與假設矛盾)


僅供參考
高斯教授 2009/07/24


PS:假若obel並未打錯題目,則解題過程將很繁複,可能直接從個位
數字開始推反而會比較快.



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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

[髒筆]

Post by 托斯卡尼艷陽下
abcd*3=bdce
求所有滿足上式的a,b,c,d,e (五個皆為1~9的正整數, 不包含0)

假設題目沒有錯

先從 c下手 (被乘數的十位c乘上3倍之後 積的十位仍然為c)
被乘數的個位乘上3後 對積的十位進位可能是{0,1,2}
紙上計算約一分鐘既可得知 c={4,5,9}

case 1, c=4:
被乘數的個位 d 只有可能為{7,8,9} 而積的個位 e 相對應得{1,4,7}
積的百位 d 扣掉十位的進位1是{6,7,8} 相對應的被乘數百位 b 是{2,9,6}
最後看千位乘法時可知 三種都不可能

case 2, c=5:
看個位 d={1,2,3} 對應 e={3,6,9}
看積的百位 扣掉十位的進位1是{0,1,2} 其中0會推得b=0不合題意
所以b={7,4}剩兩種可能 最後看千位只剩一種可能 就是b=4時 a=1

 解為：1453*3=4359

case 3, c=9:
解法同c=4時 個位有三種可能 但推到千位時就三種都不可能

答案為黃色部份

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◆ From : pc217.Math.NCTU.edu.tw 

[小孩]

※ 引述《obel (托斯卡尼艷陽下)》之銘言：
: ※ 引述《obel (托斯卡尼艷陽下)》之銘言：
: : 用1跟2寫成8位數的正整數, 其中規定不能有兩個2相鄰,
: : 請問這樣的8位數有多少個呢?
: 真的沒有人會嗎? 我看到的答案是下面的遞迴數列的第八項a8=55
: a1=2, a2=3,
: a(n+2)=a(n+1)+a(n) , for n>=1
: 但是不知道答案為何會這樣?
a(n+2) = a(n+1) + 長度(n+1)尾是1的
~~~~~~~~~~~~~~~~
會等於a(n) (不管是1尾或2尾, 都可以生出第n+1位是1的)

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