a problem

[托斯卡尼艷陽下]

x^2-2xy=1
y^2+2xy=1

求x, y


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※ Origin: 醉月風情站(bbs.math.ntu.edu.tw) ◆ From: 125-231-128-116.dynamic.hinet.net
IP : 140.112.50.3(台大數學系醉月風情站)

[小貓]

x^2-2xy=1 --(1)
y^2+2xy=1 --(2)
求x, y

(1)式 x(x-2y)=1 是一雙曲線

(1)+(2)式 x^2+y^2=2 是圓 得知交點必落在此圓上

令交點參數式 ( √2 cosθ, √2 sinθ) 代入(1)式

=> 2cos^2θ-4cosθsinθ-1 = 0
=> cos2θ-2sin2θ=0
..

好像有4個交點的樣子？

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※ Origin: 交大應數資訊站 <bbs.math.nctu.edu.tw>
◆ From : pc217.Math.NCTU.edu.tw 

[高斯教授]

Post by 小貓

x^2-2xy=1 --(1)
y^2+2xy=1 --(2)
求x, y

(1)式 x(x-2y)=1 是一雙曲線
(1)+(2)式 x^2+y^2=2 是圓 得知交點必落在此圓上
令交點參數式 ( √2 cosθ, √2 sinθ) 代入(1)式
=> 2cos^2θ-4cosθsinθ-1 = 0
=> cos2θ-2sin2θ=0
..
好像有4個交點的樣子？

筆者以為直接配方解題速度較快亦較直觀:

x^2 - 2xy + 1 = 2 => (x - y)^2 = 2 => x - y = √2 或 -√2

第二式同理可得x + y = √2 或 -√2

兩結果聯立即可得四個解.


僅供參考
高斯教授 2009/03/24


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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

[都幾月了 還不唸書]

※ 引述《SJOKER (高斯教授)》之銘言：

Post by 高斯教授

Post by 小貓
(1)式 x(x-2y)=1 是一雙曲線
(1)+(2)式 x^2+y^2=2 是圓 得知交點必落在此圓上
令交點參數式 ( √2 cosθ, √2 sinθ) 代入(1)式
=> 2cos^2θ-4cosθsinθ-1 = 0
=> cos2θ-2sin2θ=0
..
好像有4個交點的樣子？

x^2 - 2xy + 1 = 2 => (x - y)^2 = 2 => x - y = √2 或 -√2

^^
這裡是1 但不是y^2

Post by 高斯教授
第二式同理可得x + y = √2 或 -√2
兩結果聯立即可得四個解.
僅供參考
高斯教授 2009/03/24

代數解法：

x^2-2xy=1 ----(1)
y^2+2xy=1 ----(2)

(1)+(2) x^2+y^2=2 ----(3)
(1)-(2) x^2-y^2=4xy --(4)

先觀察 if x=0 then (1)矛盾;
if y=0 then (2)矛盾.
則可令 x,y≠0
(4)可改寫為 (x/y)-(y/x)-4=0
令 x/y=t 得 t-(1/t)-4=0
t^2-4t-1=0
公式解 t=(4±√12)/2=2±√3
此時x=(2±√3)y代回(2)比代回(3)快
y^2+2ty^2=1
y^2=1/(1+2t)=1/(3±√3)

然後有4個y 對應4個x

打鐘了
原諒我的虎頭蛇尾吧

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□ 本文章由 weeeeeeeeell 從 pc217.Math.NCTU.edu.tw 發表