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[托斯卡尼艷陽下]

ABCD為四邊形, 角A=角C=90度

AB=4, BC=6, CA=8, 求CD=?


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[高斯教授]

Post by 托斯卡尼艷陽下
ABCD為四邊形, 角A=角C=90度
AB=4, BC=6, CA=8, 求CD=?

筆者提供一個想法:

既然角A = 角C = 90度,表示ABCD是圓內接四邊形,同時BD恰為直徑.

我們令O為BD的中點,亦為此外接圓的圓心,並且令BD長度為2R,則我們

有以下的關係式:

4^2 + 6^2 - 8^2 -1
cosABC = ----------------- = -----
2*4*6 4

-7 2*R^2 - 8^2
cosAOC = 2*cos^2(ABC) - 1 = ----- = -------------
8 2*R^2

(上式用到圓心角 = 2*圓周角)

1024
不難得到BD^2 = 4*R^2 = ------ , 從而解得CD = sqrt(484/15)
15


附帶一提,此題亦可直接假設CD = x , DA = y , 解以下的聯立方程式:

{2*x^2 + 2*y^2 + xy - 128 = 0 (由餘弦定理得來 : cosABC = cosADC)
{x^2 + 36 = y^2 + 16 .....(#)

但必須注意的是,上述聯立方程式除了正確解以外還有另一組解(4,6),而這

組解是不成立的(此時三角形ABC與三角形CDA全等,但是這兩個三角形拼不出

長方形).這是因為(#)式並不能保證所得的x,y滿足"角A = 角C = 90度".



僅供參考
高斯教授 2009/12/16





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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表

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試求不定積分
/ 1
| -------dx
/ 1+e^x

1+e^x -e^x e^x
1/ (1+e^x) = -------------------- = 1 - -----------
1+e^x 1+e^x




原式= ∫1dx - ∫ e^x/(1+e^x)dx
=x -ln ｜1+e^x｜ +C
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