Post by ææ¯å¡å°¼è·é½ä¸證明: f(x)=x^4 -10x^2+1
無法分解成兩個次數較f(x)低的有理係數多項式 g(x), h(x)
筆者提供一個想法,若有錯誤尚請不吝指正:
若想要將f(x)分解成g(x)˙h(x) , 且deg g(x)與deg h(x)皆小於deg f(x)
則僅有兩類情況 : (1)deg g(x) = 1 且deg h(x) = 3
(2)deg g(x) = deg h(x) = 2
情況(1)是很容易發現不可能成立的,因為根據一次因式檢驗法,唯二可能的
有理根 , 1 與 -1 都不是f(x) = 0的根,因此f(x)是不可能存在有理係數
一次因式的.
至於情況(2),我們則假設g(x) = x^2 + ax + b , h(x) = x^2 + cx + d
之所以能夠直接假設二次項係數為1 , 是因為假如存在某組g(x)與h(x)的分
解法,則 m˙g(x)與 (1/m)˙h(x)亦會是滿足條件的分解法,於是我們自然可
以將二次項係數調整至1.
接下來將g(x)與h(x)相乘,並與f(x)比較係數,可以得到以下關係式:
a + c = 0 ... (i)
ad + bc = 0 ... (ii)
bd = 1 ... (iii)
ac + b + d = -10 ... (iv)
將(i)式代入(ii)式整理可以得到 c(b-d) = 0
因此我們有 c = 0 或是 b = d
以下討論,當 c = 0 時 , a 亦為 0 , 則 b + d = -10 且 bd = 1 , b與d
不存在有理數解; 而當 b = d 時, 則根據(iii)式我們有 b = d = 1 或 -1
同時(iv)式可以整理成 -c^2 = -10 - b - d = -12 或 -8 , 同樣不存在有
理數解.
綜上所述,f(x)是無法分解成兩個次數較小的有理係數因式的.
僅供參考
高斯教授 2010/01/29
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[1;37m□ 本文章由 [33mSJOKER[37m 從 [32mschung1.ch.sinica.edu.tw[37m 發表[m