A problem

[托斯卡尼艷陽下]

a, b, c為直角三角形的三邊,

且 a+b^2=c+14, 求 a, b, c.

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[高斯教授]

Post by 托斯卡尼艷陽下
a, b, c為直角三角形的三邊,
且 a+b^2=c+14, 求 a, b, c.

假如沒有 "b為整數" 這個條件,則本題三數將無確切的值.

且範圍討論有相當的複雜度.以下筆者提供整數解的找法:

將原式移項得到 b^2 = c - a + 14 , 由於是三角形的三邊,因此

存在 -b < c - a < b (三角形兩邊之差小於第三邊)

於是我們有(1) b^2 < b + 14 => b^2 - b - 14 < 0

1 + sqrt(57)
=> b < ---------------- < 4.5
2

(2) b^2 > -b + 14 => b^2 + b - 14 > 0

-1 + sqrt(57)
=> b > ---------------- > 3
2

因此b的整數解只有4,代回原式得到16 = c - a + 14 => c - a = 2 ... (*)

另一方面,因為是直角三角形,我們有

b^2 = c^2 - a^2 或 c^2 + a^2 (因為我們不知道b是否為最大邊)

與(*)式聯立可分別解得a = 3, c = 5 或a = sqrt(7) - 1, c = sqrt(7) + 1

假如考慮邊長皆為整數,則僅取(a,b,c) = (3,4,5)



僅供參考 高斯教授 2009/11/28



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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表