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[托斯卡尼艷陽下]

使用鉛筆, 畫出一個任意的三角形ABC.
延AB, BC, CA三向量的方向, 延長該三向量, 得到AB', BC', CA'三向量,
使得 AB' = 2AB, BC'=2BC, CA'=2CA (前面六個都是向量).

然後, 請先將 A'B', B'C', C'A'三線段連起來, 再將 AB', BC', CA'
三個向量, 都用橡皮擦擦掉, 不可留下任何痕跡!

[試問]: 現在要如何找出原本的A, B, C的所在位置?


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※ Origin: 醉月風情站(bbs.math.ntu.edu.tw) ◆ From: ccDHCP.Math.NCTU.edu.tw
IP : 140.112.50.3(台大數學系醉月風情站)

[托斯卡尼艷陽下]

※ 引述《obel (托斯卡尼艷陽下)》之銘言：
: 使用鉛筆, 畫出一個任意的三角形ABC.
: 延AB, BC, CA三向量的方向, 延長該三向量, 得到AB', BC', CA'三向量,
: 使得 AB' = 2AB, BC'=2BC, CA'=2CA (前面六個都是向量).
: 然後, 請先將 A'B', B'C', C'A'三線段連起來, 再將 AB', BC', CA'
: 三個向量, 都用橡皮擦擦掉, 不可留下任何痕跡!
: [試問]: 現在要如何找出原本的A, B, C的所在位置?

請參考網頁
http://163.20.157.8/junmath/science/24-1.htm

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[v***@kkcity.com.tw]

試求不定積分∫x*sinx dx
但是先說好, 不能用[分部積分]喔!

就用工數方法解

[積出來=y]的微分= x*sinx

設
y' = x*sinx

λ=0

yh = c1

設yp = (ax+b)sinx +(cx+d)cosx 帶入 y' = x*sinx

a*sinx +(ax+b)cosx +c*cosx -(cx+d)sinx = x*sinx


[ax+(b+c)]*cosx + [-cx -d+a ]sinx = x*sinx


比較係數
c=-1 , d+a=0 , b+c=0 , a=0 ==> a=0 ,d=0 ,c=-1 ,b=1

yp = (ax+b)sinx +(cx+d)cosx 帶入a=0 ,d=0 ,c=-1 ,b=1


yp =sinx -xcosx


y=yh+yp==sinx -xcosx +C1

∫x*sinx dx =sinx -xcosx +C1

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[幸運的帥哥]

全班若干人, 數學不及格占1/8, 英文不及格占1/3, 兩科都不及格占1/12
試問: 兩科都及格的人占多少?

以集合圖來看:


(1)兩科都及格 = 數學及格 + 英文及格 - 至少有一科及格

= 7/8 + 2/3 - (1 - 1/12)

= 37/24 - 11/12

= 5/8



(2)兩科都及格 = 全部 - 至少有一科不及格

= 1 - (1/8 + 1/3 - 1/12)

= 1 - 9/24

= 5/8

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◆ From : 118-231-118-76.adsl.fetnet.net 

[高斯教授]

Post by 托斯卡尼艷陽下
使用鉛筆, 畫出一個任意的三角形ABC.
延AB, BC, CA三向量的方向, 延長該三向量, 得到AB', BC', CA'三向量,
使得 AB' = 2AB, BC'=2BC, CA'=2CA (前面六個都是向量).
然後, 請先將 A'B', B'C', C'A'三線段連起來, 再將 AB', BC', CA'
三個向量, 都用橡皮擦擦掉, 不可留下任何痕跡!
[試問]: 現在要如何找出原本的A, B, C的所在位置?

第一次附上簡圖,因為是用小畫家畫的,並非很準確尚請見諒.

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筆者提供一個想法:

首先我們嘗試證明三角形ABC與A'B'C'有共同的重心G.

我們假設三角形ABC的重心為G,則有 v(GA) + v(GB) + v(GC) = v(0)
(筆者不知道如何打出向量符號,暫時以此符號代替)

同時, v(GA') + v(GB') + v(GC')

= v(GA) + v(GB) + v(GC) + v(AA') + v(BB') + v(CC')

= v(0) + v(CA) + v(AB) + v(BC)

= v(0)

因此G亦是三角形A'B'C'的重心.

同時我們有 v(A'G) = (1/3)*[v(A'A) + v(A'B) + v(A'C)]

= (1/3)*[3*v(A'A) + v(A'B)] ...... (i)

又在三角形A'B'A之中,B為線段AB'的中點,根據向量的分點公式我們有

v(A'B) = (1/2)*[v(A'B') + v(A'A)]

代回(i)式得到 v(A'G) = (1/6)*v(A'B') + (7/6)*v(A'A) ...... (ii)

於是我們可以根據(ii)式作圖,步驟如下:

(1)先找出三角形A'B'C'的重心G

(2)在線段A'B'上找出一點P使得v(A'P) = (1/6)*v(A'B')

(3)作一直線L通過G並且平行直線A'B'(等角作圖),並在L上找出一點Q使得
線段GQ = 線段A'P

(4)連接線段A'Q,並且在其上找出距離Q點最近的7等分點,此即為A點

(5)延長線段A'A一倍即得到C點,連接線段C'C並延長一倍即得到B點



僅供參考
高斯教授 2009/12/02



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□ 本文章由 SJOKER 從 schung1.ch.sinica.edu.tw 發表